Higher Complex Structures and Higher Teichmüller Theory

Alexander Thomas

IRMA Strasbourg

Thèse de doctorat sous la direction de

Vladimir Fock

10 Juin 2020

Jury de thèse:

Vladimir Fock | directeur de thèse
---|---
François Labourie | rapporteur
Richard Wentworth | rapporteur
Nalini Anantharaman | examinatrice
Steven Bradlow | examinateur
Oscar García-Prada | examinateur
Tamás Hausel | examinateur
Nicolas Tholozan | examinateur

Alexander Thomas, Higher Complex Structures and Higher Teichmüller Theory, PhD
thesis, Université de Strasbourg, June 2020

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USA.

Für Oma.

### Résumé court

Dans cette thèse, on donne une nouvelle approche géométrique aux composantes
des variétés de caractères. En particulier on construit une structure
géométrique sur des surfaces, généralisant la structure complexe, et on
explore son lien avec les composantes de Hitchin.

Cette structure, appelée structure complexe supérieure, est construite en
utilisant le schéma de Hilbert ponctuel du plan. Son espace des modules admet
des propriétés similaires à la composante de Hitchin. On construit une courbe
spectrale généralisée, une sous-variété (presque) Lagrangienne de l’espace
cotangent complexifié de la surface.

Partant d’une structure complexe supérieure, on cherche à la déformer d’une
façon canonique en une connexion plate. L’espace de ces connexions plates,
dites “paraboliques”, s’obtient en imitant la réduction d’Atiyah–Bott. C’est
un espace de paires d’opérateurs différentiels commutants. Sous une
conjecture, on établit un difféomorphisme canonique entre l’espace des modules
de notre structure géométrique et la composante de Hitchin.

Enfin, on généralise certaines constructions, comme le schéma de Hilbert
ponctuel et la structure complexe supérieure, au cas d’une algèbre de Lie
simple.

### Abstract

In this PhD thesis, we give a new geometric approach to higher Teichmüller
theory. In particular we construct a geometric structure on surfaces,
generalizing the complex structure, and we explore its link to Hitchin
components.

The construction of this structure, called higher complex structure, uses the
punctual Hilbert scheme of the plane. Its moduli space admits similar
properties to Hitchin’s component. We construct a generalized spectral curve,
an (almost) Lagrangian subvariety of the complexified cotangent space of the
surface.

Given a higher complex structure, we try to canonically deform it to a flat
connection. The space of such connections, called “parabolic”, is obtained by
imitating the Atiyah–Bott reduction. It is a space of pairs of commuting
differential operators. Under some conjecture, we establish a canonical
diffeomorphism between our moduli space and Hitchin’s component.

Finally, we generalize certain constructions, like the punctual Hilbert scheme
and the higher complex structure, to the case of a simple Lie algebra.

### Remerciements

Voici mon secret. Il est très simple : on ne voit bien qu’avec le cœur.
L’essentiel est invisible pour les yeux.

Antoine de Saint-Exupéry, Le Petit Prince

Voilà le secret pour bien vivre les années d’une thèse. Car une thèse, c’est
avant tout une aventure humaine. Malheureusement cet aspect humain est peu
visible dans le rendu final d’une thèse, son manuscrit. Ici je voudrais
remercier tous les aventuriers qui m’ont entouré, encouragé et aidé dans les
contrées mathématiques et en dehors.

Tout d’abord je voudrais exprimer ma plus grande gratitude envers mon
directeur de thèse, Vladimir Fock. Tu as partagé avec moi ton riche univers
mathématique, dans lequel tout est lié et tout s’explique souvent si
facilement (même si cela peut prendre des détours surprenants et des années de
réflexions). Même si tu n’es pas toujours joignable, surtout pour des
problèmes administratifs, tu as été un encadrant formidable pour moi !

Then I would like to thank all the members of the jury for all your comments
and remarks! Thanks to François Labourie (also for your warm reception in Nice
in January 2018), to Richard Wentworth (also for the discussions we had in
Moscow and Stony Brook), to Oscar Garcia-Prada (also for your invitation to
Madrid in November 2018, such a wonderful city!), to Steven Bradlow (also for
your invitation to Stony Brook in February 2019), to Tamás Hausel, to Nalini
Anantharaman and to Nicolas Tholozan (also for our discussion in Nancy in
November 2019 and your remarks on the manuscript).

A special thank you goes to Georgios Kydonakis, Johannes Horn and Andrea
Bianchi, for all the discussions, exchanges and finally for your comments on
the manuscript!

Further I would like to thank the researchers and professors with whom I
interacted through these years of PhD. First the members of IRMA, especially
Olivier Guichard, Charles Frances, Florent Schaffhauser, Dragos Fratila, Ana
Rechtman and Tatiana Beliaeva. Then the researchers I met in various
conferences and occasions (and which are not cited below): Gaëtan Borot, Brian
Collier, Andy Sanders, Evgenii Rogozinnikov, Andreas Ott and Fanny Kassel.

La fin d’une thèse permet aussi de regarder en arrière. J’ai été porté à
travers ces années par des formidables amis, des camarades et des enseignants
passionnés. C’est une bonne occasion ici de vous exprimer toute ma gratitude !

Mein Interesse an der Mathematik wurde schon früh geweckt, vor allem durch
meine Lehrerin Frau Petra Wegert. Ebenso danken möchte ich Herrn Stephan
Hauschild für das „Drehtürmodell “ und Frank Göring für das wunderbare Projekt
rund um das Voderberg’sche Neuneck.

Danke an meine beiden „Mitstreiter “ Christoph und Florian, und an meine
Schulfreunde Nico, Max und Iris.

Durch die vielen Matheseminare und -olympiaden, unter den mysteriösen Zeichen
MO, AIMO, MeMO, JuMa, BWM, JuFo, ITYM und LSGM abgekürzt, haben sich viele
wertvolle Freundschaften ergeben. Ganz besonders denke ich an
Kuno/Mani/Sebastian (bitte eins auswählen) und Susi, Lukas, Xianghui und
Andrea. Aber natürlich auch an Ilja, Jakob, Julius, Jean-François, Anne, Tim,
Pham, Lisa, Fabian H, Achim, Michael, …

La personne clé qui a fait germer en moi l’idée de faire mes études en France
est Bodo Lass. Un immense merci pour tes cours incroyables et passionnants sur
la géométrie projective, ainsi que ton aide pour me retrouver en études
supérieures en France !

Après l’Abitur directement en classe préparatoire à Paris ! J’ai pu découvrir
une nouvelle culture, si riche et fascinante, et approfondir toutes mes
passions : les maths, les sciences, la musique et la langue française. Je suis
particulièrement reconnaissant envers mes deux profs exceptionnels Yves Duval
et Ulrich Sauvage. Un grand merci à tous mes amis (HX1 - Torche !) : Paul,
Andrei, Yuesong, Thomas, Théis, Hélicia, Sandrine, Lucas I, Jonathan, Leonard,
Ulysse, Valère, Théodore, Lucas M, Diane, …

Puis vient “l’époque d’or” à l’ENS de Lyon, un endroit idéal pour
l’épanouissement personnel. Un grand merci à mes profs, surtout Jean-Claude
Sikorav, Jean-Yves Welschinger et Pascal Degiovanni. Deux stages m’ont
introduit à la recherche, un grand merci à mes encadrants : à Gwénaël
Massuyeau pour le stage autour des nœuds en 2014 à Strasbourg. Und an Prof.
Carl-Friedrich Bödigheimer für das Projekt über die Homologie der
symmetrischen Gruppen in Bonn 2015.

Les meilleurs moments à Lyon sont dus au fameux “Bouquet”, le cercle secret
des mélomanes. Impossible de formuler ces joies en mots ! Merci à tous les
membres, surtout à Pierre (le gourou), Louis, Emanuel, Célia, Flora, Laureena,
Corentin et Erwan. A travers les départements scientifiques, pleins d’amitiés
se sont nouées. Je pense avant tout à Vincent, Théo, Carine et Ruben,
Laureline, Perrine, Garance, Keny, TPT, Lambert, Quentin, Leonard, Willy et
Edwin. Merci aussi à mes camarades Matthieu, Florent et Benoît pour les
groupes de lecture.

Vient enfin la période strasbourgeoise !

Je remercie mes cobureaux Martin, Kien et Amaury pour l’ambiance et
l’entraide. Puis mes “frères académiques” Nicolas et Valdo (combien de fois on
s’est échangé pour savoir où était le “chef” ?) et mon futur frère Florian.
J’ai été chaleureusement accueilli par les “anciens doctorants”. Un grand
merci à tous, en particulier à Audrey, Amandine et le “petit’’ et le “grand”
Guillaume. Puis mes camarades doctorants formant la “troupe du RU à midi”.
Merci à Fred, Laura, Alix, Cuong, PA, Francisco, Leo (le presque doctorant),
Lorenzo, Lukas, Djibril, l’autre Alexander, les deux Alexandre (pas facile de
nous distinguer !), François, Guillaume, Romane, Tsung-Hsuan et Archia. Un
point de rencontre important a été le séminaire doctorant et le comptoir (même
si je n’ai pas été très assidu à ce dernier). Merci à tous les doctorants, en
particulier (désolé si j’oublie quelques-uns !) Philippe, Thibault, Yohann,
Xavier, les deux Maries, Manu, Gatien, Camille, Pierre, Luca, Greta, Antoine,
Firat, Florian,…

Je remercie également l’équipe administrative (avant tout Madame Kostmann),
informatique et les bibliothécaires.

Une pensée va également aux étudiants auxquels j’ai donné des enseignements.
Enseigner, c’est progresser soi-même dans la compréhension. Mon activité
principale était le “Cercle de maths de Strasbourg”. Merci à Tatiana, Alix,
Laura et Francisco pour l’organisation du cercle et la participation au
$\mathbb{T}\mathbb{F}\mathbb{J}\mathbb{M}^{2}$ !

Ces années à Strasbourg sont marquées par mes activités en dehors de
l’université. Je pense surtout au cercle des mélomanes (un prolongement du
Bouquet). Merci à Deniz, Pierre J, Alix et Chloé, Thérèse, Lara, Corentin et
Eva (qui nous a rejoints virtuellement pendant le confinement !). Je pense
également à l’EVUS (merci aux super chefs Rémi et Clotilde et à tous les
Evusiens !), au club de Go, aux Jongleurs du SUAPS et aux danseurs folk. Danke
an meine Freunde Jule und Hannah, die ich durch einen so tollen Zufall
kennenlernte!

Par ailleurs, l’organisation d’une école d’été “L’Agape” m’a beaucoup inspiré.
Merci à Pierre (encore le gourou !), Fede, Jérémy (tes pizzas sont
inoubliables !), Vaclav, Titouan, Robin et Johannes. Cet événement s’inscrit
dans un mouvement plus large, le BRCP (Basic Research Community for Physics).

Merci à Claude, Fabienne et Jeanne, pour tous les accueils chaleureux que ce
soit à Chaville, Briançon ou Houlgate !

Ein besonderer Dank geht an meine Familie, für die Unterstützung und die
vielen gemeinsamen Momente! Einen tiefen Dank an Mutti und Andreas, Papsi und
Petra, Oma Gisela und Opa Volker (wie hätte ich je Klavier spielen gelernt?),
Oma Dagi und Bodo, Opa Thomas und Katja, Antje, Uwe und Moritz, Nora und
Pauline, Paula und Alma und Onkel Ulli. Auch Shira, Louis und Louise haben
viel zu meinem Glück beigetragen.

Ein ganz besonderer Gedanke geht an meine Uroma, die leider von uns gegangen
ist. Danke für alles, was wir geteilt haben! Dir widme ich diese Arbeit!

Enfin, un dernier mot pour toi, ma chère Eve. Ton amour me porte à chaque
instant ! Je ne saurais exprimer tous mes sentiments et ma gratitude. Un
immense merci pour tes superbes montages des “Thomaths”, et pour ta relecture
entière de mon manuscrit !

###### Contents

  1. 1 Introduction et résumé (en français)
    1. 1.1 Théorie de Teichmüller
    2. 1.2 Théorie de Teichmüller supérieure
    3. 1.3 Connexions plates et fibrés de Higgs
    4. 1.4 Résumé
  2. 2 Introduction and summary (in English)
    1. 2.1 Introduction
    2. 2.2 Summary
  3. I Higher complex structures and punctual Hilbert schemes
    1. 3 Complex structures on surfaces
    2. 4 Punctual Hilbert scheme of the plane
      1. 4.1 Definition
      2. 4.2 Structure
      3. 4.3 Resolution of singularities*
      4. 4.4 Matrix viewpoint
      5. 4.5 Dual viewpoint*
    3. 5 Higher complex structures
      1. 5.1 Definition and basic properties
      2. 5.2 Higher diffeomorphisms
      3. 5.3 Local theory
      4. 5.4 Moduli space
      5. 5.5 Induced bundle
    4. 6 More on punctual Hilbert schemes
      1. 6.1 Symplectic structure
      2. 6.2 Reduced Hilbert scheme
      3. 6.3 Hyperkähler structure
        1. 6.3.1 Generalities on hyperkähler structures
        2. 6.3.2 Hyperkähler structure of the punctual Hilbert scheme
        3. 6.3.3 Real symplectic structure of the punctual Hilbert scheme*
    5. 7 A spectral curve
      1. 7.1 Cotangent bundle of the moduli space of $n$-complex structures
      2. 7.2 Spectral curve
    6. 8 Conjugated higher complex structures
    7. 9 $\operatorname{GL}_{2}(\mathbb{R})$-action on $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$
      1. 9.1 Half-translation surfaces
      2. 9.2 Description of the generalization
  4. II Link to higher Teichmüller theory
    1. 10 Introduction: two hyperkähler pictures
    2. 11 Holomorphic differentials in flat affine connections
      1. 11.1 Standard form
      2. 11.2 Holomorphic differentials
    3. 12 Parabolic connections and reduction
      1. 12.1 Atiyah–Bott reduction
      2. 12.2 Parabolic reduction
        1. 12.2.1 Setting and coordinates
        2. 12.2.2 Example $n=2$
        3. 12.2.3 Existence of parabolic gauge*
      3. 12.3 Higher diffeomorphisms and flat connections
        1. 12.3.1 Action of higher diffeomorphisms
        2. 12.3.2 Double reduction to flat connections
    4. 13 Parabolic reduction of $h$-connections
      1. 13.1 Parametrization
      2. 13.2 Symplectic structure
      3. 13.3 Action of higher diffeomorphisms
        1. 13.3.1 Local analysis
        2. 13.3.2 Global analysis
    5. 14 Conjectural geometric approach to Hitchin components
      1. 14.1 Case $n=2$ and $n=3$
      2. 14.2 Higgs gauge
      3. 14.3 General case
      4. 14.4 Link to Hitchin’s component
  5. III Generalization to other Lie groups
    1. 15 Generalized punctual Hilbert scheme
      1. 15.1 Definitions and first properties
      2. 15.2 Chow map
      3. 15.3 Idealic map
      4. 15.4 Morphisms
      5. 15.5 Case $A_{n}$
      6. 15.6 Case $B_{n}$
      7. 15.7 Case $C_{n}$
      8. 15.8 Case $D_{n}$
      9. 15.9 Topology of $\mathfrak{g}$-Hilbert schemes*
    2. 16 $\mathfrak{g}$-complex structures
      1. 16.1 Definition
      2. 16.2 Idealic viewpoint
    3. 17 Moduli space
      1. 17.1 Higher diffeomorphisms
      2. 17.2 Action on $\mathfrak{g}$-complex structures
      3. 17.3 Local theory
      4. 17.4 Definition of the moduli space
      5. 17.5 Spectral curve
  6. IV Perspectives
    1. 18 Open questions and conjectures
    2. 19 Links to related topics
      1. 19.1 Geometric approaches to higher Teichmüller theory
      2. 19.2 Spectral networks, cluster coordinates and positivity
      3. 19.3 Opers, Drinfeld–Sokolov reduction and W-geometry
      4. 19.4 Quantization and mirror symmetry
    3. A Regular elements in semisimple Lie algebras
    4. References

### Index of notations

We gather here the main notations used in this thesis. We regroup them in
general notations, notations on Lie groups and Lie algebras and then more
specific notations for parts I, II and III. We also have a special notation
for partitions.

###### General notations:

$\Sigma$ |  smooth closed connected surface, of genus $g\geq 2$
---|---
$z,\bar{z}$ |  complex coordinates on $\Sigma$
$\partial,\bar{\partial}$ |  differential with respect to $z$ and $\bar{z}$ resp.
$p,\bar{p}$ |  linear coordinates on $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$
$x,y$ |  real variables, or complex variables for polynomials in $\mathbb{C}[x,y]$
$K$ |  canonical line bundle of $\Sigma$, equals $T^{*(1,0)}\Sigma$
$n$ |  integer, mainly used in matrix groups like $\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$
$\Gamma(.),H^{0}(.)$ |  space of all (resp. holomorphic) sections of some bundle
$[a]$ |  equivalence class of some element $a$
$X\sslash G$ |  hamiltonian reduction (symplectic quotient, or Marsden-Weinstein quotient) over the 0-coadjoint orbit
$\omega$ |  symplectic form
$\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),G)$ |  character variety for $G$
$\mathcal{T}(\Sigma),\mathcal{T}^{2}$ |  Teichmüller space
$\mathcal{T}^{n}$ |  Hitchin’s component for $\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ |  moduli space of $n$-complex structures
$I$ |  ideal, often in a punctual Hilbert scheme
$\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ |  punctual Hilbert scheme of $n$ points of $\mathbb{C}^{2}$
$\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(\mathbb{C}^{2})$ |  zero-fiber of the punctual Hilbert scheme
$\operatorname{Hilb}^{n}_{red}(\mathbb{C}^{2})$ |  reduced Hilbert scheme of $n$ points with barycenter 0
$\Phi$ |  connection from $n$-complex structure $\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}$, or Higgs field
$\Phi_{1},\Phi_{2}$ |  $(1,0)$\- and $(0,1)$-part of $\Phi$, or locally the associated matrices
$\mu_{k}$ |  higher Beltrami differentials, define $n$-complex structure
$\mu$ |  set of all Beltrami differentials $(\mu_{2},...,\mu_{n})$
$t_{k}$ |  differentials, dual to $\mu_{k}$
$t$ |  set of all differentials $(t_{2},...,t_{n})$
${}_{k}\mu,{}_{k}t$ |  conjugated higher complex structure and its deformation
$\operatorname{Symp}_{0}(T^{*}\Sigma)$ |  group of higher diffeomorphisms
$H$ |  Hamiltonian, function on $T^{*}\Sigma$
$M_{x}$ |  multiplication operator by $x$ in some quotient $\mathbb{C}[x,y]/I$
$\varepsilon$ |  small parameter
$\bm{\tilde{}}{\Sigma}$ |  spectral curve inside $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$, or universal cover of $\Sigma$
$s$ |  generic section of a bundle
$\langle e_{i}\mid e_{j}\rangle$ |  Dirac’s “bra-ket” notation for linear forms and vectors

###### Lie groups and Lie algebras:

$G$ |  semisimple Lie group (complex or real)
---|---
$\mathfrak{g}$ |  semisimple Lie algebra (simple in part III)
$\mathfrak{sl}_{n},\mathfrak{so}_{n},\mathfrak{sp}_{2n}$ |  classical complex Lie algebras
$\mathfrak{h}$ |  Cartan subalgebra of $\mathfrak{g}$
$W$ |  Weyl group of $\mathfrak{g}$
$\bm{\hat{}}{\mathfrak{g}}$ |  affine Lie algebra
$Z(A),Z(A,B)$ |  centralizer of $A\in\mathfrak{g}$, common centralizer of $A,B\in\mathfrak{g}$

###### Part 1:

$V$ |  bundle induced by a higher complex structure
---|---
$P,Q$ |  polynomials defining generators of an ideal $I\in\operatorname{Hilb}^{n}_{red}(\mathbb{C}^{2})$
$v_{k}$ |  coefficients of a Hamiltonian $H=v_{2}p+...+v_{n}p^{n-1}$
$\alpha_{i,j}$ |  matrix entries of $M_{\bar{p}}$

###### Part 2:

$\lambda$ |  parameter in $\mathbb{C}P^{1}$
---|---
$h$ |  deformation parameter, equals $\lambda^{-1}$
$\mathcal{O}(n)$ |  holomorphic line bundle over $\mathbb{C}P^{1}$ with first Chern class $n$
$\bm{\hat{}}{\mu}_{k},\bm{\hat{}}{t}_{k}$ |  coordinates of the space of parabolic connections
$\mathcal{A}$ |  space of all connections
$\mathcal{G}$ |  group of all gauge transformations
$\mathcal{P}$ |  group of parabolic gauge transformations
$\xi_{k}$ |  parabolic curvature
$\mathcal{M}_{H}(G)$ |  moduli space of $G$-Higgs bundles on Riemann surface $\Sigma$
$\nabla,\bar{\nabla}$ |  (1,0) and (0,1)-part of a covariant derivative
$A$ |  a connection, often $A^{*}=-A$
$A_{1},A_{2}$ |  (1,0) and (0,1)-part of $A$, or locally the associated matrices
$\mathcal{A}(\lambda)$ |  affine connection $\mathcal{A}(\lambda)=\lambda\Phi+A+\lambda^{-1}\Phi$
$\mathcal{A}_{1}(\lambda),\mathcal{A}_{2}(\lambda)$ |  (1,0) and (0,1)-part of the connection $\mathcal{A}(\lambda)$
$\bm{\hat{}}{\alpha}_{i,j}$ |  entries of matrix $\mathcal{A}_{2}(\lambda)$
$\bm{\hat{}}{H}$ |  quantum Hamiltonian
$\bm{\hat{}}{v}_{k}$ |  coefficients of $\bm{\hat{}}{H}=\sum_{k}\bm{\hat{}}{v}_{k}\nabla^{k-1}$
$\bm{\hat{}}{I}$ |  left-ideal in the space of differential operators
$\bm{\hat{}}{P},\bm{\hat{}}{Q}$ |  polynomials defining $\bm{\hat{}}{I}$
$T$ |  matrix defined by equation (14.3)
$\varphi_{i}$ |  parameters in $\Phi_{1}$, see Proposition 11.1
$\tau$ |  Hitchin’s split real form on $\mathfrak{sl}_{n}$

###### Part 3:

$\operatorname{Hilb}(\mathfrak{g})$ |  $\mathfrak{g}$-Hilbert scheme defined in 15.1
---|---
$\operatorname{Hilb}_{0}(\mathfrak{g})$ |  zero-fiber of $\operatorname{Hilb}(\mathfrak{g})$
$\operatorname{Hilb}^{reg}(\mathfrak{g})$ |  regular part of $\operatorname{Hilb}(\mathfrak{g})$, see 15.4
$\operatorname{Hilb}^{cycl}(\mathfrak{g})$ |  cyclic part of $\operatorname{Hilb}(\mathfrak{g})$, see 15.4
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$ |  moduli space of $\mathfrak{g}$-complex structures
$I_{\mathfrak{g}}$ |  ideal of type $\mathfrak{g}$
$\operatorname{Symp}(\mathfrak{g},\Sigma)$ |  group of higher diffeomorphisms of type $\mathfrak{g}$
$e,f$ |  nilpotent elements of a principal $\mathfrak{sl}_{2}$-triple in $\mathfrak{g}$
$ch$ |  Chow map
$\rho$ |  natural embedding of a classical $\mathfrak{g}$ into some $\mathfrak{gl}_{n}$
$S$ |  matrix in $\mathfrak{so}_{2n}$ defined in (15.4)
$\sigma_{n}$ |  extra Beltrami differential for $\mathfrak{so}_{2n}$, coefficient of $S$
$\nu_{2n-2}$ |  extra Beltrami differential for $\mathfrak{so}_{2n}$, linked to $\sigma_{n}$
$\tau_{n}$ |  extra holomorphic differential for $\mathfrak{so}_{2n}$

###### Partitions:

A partition $\pi$ of an integer $n$ is written $\pi\vdash n$. Further,
decompose the partition into $\pi=(\pi_{1},...,\pi_{n})$ where $\pi_{k}$ is
the number of $k$’s in the partition, i.e. $n=\sum_{k}k\pi_{k}$, and denote by
$\lvert\pi\rvert=\pi_{1}+...+\pi_{n}$ the number of parts, also called the
length of $\pi$. In the Young diagram associated with $\pi$, the number
$\pi_{k}$ counts the number of rows of length $k$ and $\lvert\pi\rvert$ is the
total number of rows.

###  1 Introduction et résumé (en français)

On ne peut rien enseigner à autrui, on ne peut que

l’aider à le découvrir lui-même.

Galileo Galilée

L’objectif principal de cette thèse est de donner une interprétation
géométrique à la composante de Hitchin, l’objet d’étude de la théorie de
Teichmüller supérieure. Pour cette raison, nous commençons par un aperçu de la
théorie de Teichmüller et sa généralisation, l’étude des variétés de
caractères. Après nous donnons quelques bases de la théorie des fibrés de
Higgs. Nous finissons par un résumé détaillé de la structure et des résultats
de la thèse.

####  1.1 Théorie de Teichmüller

On considère $\Sigma$ une surface lisse compacte orientée de genre $g\geq 2$.
On peut l’enrichir d’une structure géométrique. L’étude globale d’une telle
structure mène à la notion d’un espace des modules, l’espace de toutes les
structures géométriques modulo une relation d’équivalence. Il est surprenant
que dans le cas d’une surface, des structures géométriques très différentes
définissent un même espace de modules, l’espace de Teichmüller, qu’on dénote
par $\mathcal{T}(\Sigma)$.

Structure complexe. Une structure complexe sur une surface est un atlas
maximal de cartes dont les images sont des ouverts de $\mathbb{C}$ tel que les
fonctions de transitions sont holomorphes. Une surface munie d’une structure
complexe est appelée surface de Riemann. L’espace de Teichmüller est l’espace
de toutes les structures complexes (compatibles avec l’orientation sur
$\Sigma$) modulo $\operatorname{Diff}_{0}(\Sigma)$, le groupe des
difféomorphismes isotopes à l’identité. Cela signifie qu’on identifie deux
structures complexes lorsque l’une est le tiré-en-arrière de l’autre par une
isotopie.

Structure presque-complexe. Une structure presque-complexe sur une variété $M$
est la donnée d’un endomorphisme $J(m)$ sur l’espace tangent $T_{m}M$ pour
tout point $m\in M$ tel que $J(m)$ dépend d’une façon lisse de $m$ et vérifie
$J(m)^{2}=-\operatorname{id}$. Un tel endomorphisme simule la multiplication
par $i$.

Une structure complexe induit toujours une structure presque-complexe en
utilisant la multiplication par $i$. Réciproquement, pour aller d’une
structure presque-complexe vers un atlas complexe, il y a une obstruction
donnée par une condition d’intégrabilité (c’est le théorème de Newlander-
Nirenberg). Pour une surface, cette obstruction est toujours nulle : toute
structure presque-complexe sur une surface est intégrable. Ce fait est dû à
Gauss dans le cas analytique réel (existence de coordonnées “isothermes”) et à
Korn et Lichtenstein dans un cadre plus général.

Par conséquent, on peut voir $\mathcal{T}(\Sigma)$ comme l’espace de toutes
les structures presque-complexes (compatibles avec l’orientation) modulo
isotopies.

Structure Riemannienne. Considérons l’espace de toutes les métriques
Riemanniennes sur $\Sigma$. On quotiente cet espace par les isotopies et par
l’équivalence conforme. Deux métriques $g_{1}$ et $g_{2}$ sont dites
conformément équivalentes s’il existe une fonction lisse positive
$\lambda:\Sigma\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ telle que $g_{2}=\lambda g_{1}$. Une
classe conforme de métriques donne la notion d’orthogonalité. Ainsi pour une
telle classe donnée, il y a exactement deux structures presque-complexes
compatibles (rotation de $\pm 90^{\circ}$) et un choix d’orientation sur
$\Sigma$ permet d’en choisir une canoniquement. Par conséquent, l’espace des
classes conformes de métriques est encore l’espace de Teichmüller.

Structure hyperbolique. Une structure hyperbolique sur une surface est une
métrique de courbure constante égale à $-1$. Le fameux _théorème
d’uniformisation de Poincaré_ implique que toute métrique est conformément
équivalente à une une métrique de courbure -1 (car le genre de $\Sigma$ est
$\geq 2$). C’est pourquoi l’espace de Teichmüller est aussi l’espace de toutes
les structures hyperboliques modulo isotopies.

Variété des caractères. Il y a encore une autre façon de voir
$\mathcal{T}(\Sigma)$ : comme une composante connexe d’une variété des
caractères.

Étant donné un groupe $\Gamma$, on l’étudie à travers ses actions sur des
espaces vectoriels. Pour une dimension $n$ donnée, une classe d’isomorphisme
de représentations est donnée par un élément de

$\operatorname{Hom}(\Gamma,\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C}))/\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C})$

où l’action de $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C})$ est par conjugaison. Il
s’est avéré fructueux de se restreindre à un sous-groupe de Lie $G$ de
$\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{C})$ ou plus généralement à un groupe de Lie
semi-simple $G$ quelconque. L’espace $\operatorname{Hom}(\Gamma,G)/G$, noté
$\operatorname{Rep}(\Gamma,G)$, est appelé variété des caractères (de $\Gamma$
dans $G$). Pour $\Gamma=\pi_{1}(\Sigma)$ le groupe fondamental d’une surface,
les variétés de caractères sont liées aux structures géométriques sur
$\Sigma$.

Dans notre cas, prenons une structure complexe sur $\Sigma$. On peut la
relever sur son revêtement universel $\bm{\tilde{}}{\Sigma}$ qui est
topologiquement un disque (car $g>1$). D’après le théorème d’uniformisation de
Poincaré, $\bm{\tilde{}}{\Sigma}$ avec la structure complexe venant de
$\Sigma$ est biholomorphe au plan hyperbolique $\mathbf{H}$ avec sa structure
complexe standard. Pour retrouver $\Sigma$, il suffit de quotienter son
revêtement universel par l’action du groupe fondamental $\pi_{1}(\Sigma)$ qui
agit par isométries préservant l’orientation. Comme le groupe des isométries
préservant l’orientation du plan hyperbolique $\mathbf{H}$ est
$\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})$, une telle action est donnée par un
morphisme de $\pi_{1}(\Sigma)$ vers $\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})$. Ce
morphisme doit être fidèle et discret pour obtenir une action libre et
proprement discontinue. Un tel morphisme est appelé fuchsien. Si deux
représentations fuchsiennes ne diffèrent que d’une homographie, les structures
complexes sur $\Sigma$ sont isotopes et réciproquement. Ainsi, l’espace de
Teichmüller est la composante connexe de
$\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R}))$ des
morphismes discrets et fidèles.

Pour résumer, nous avons

$\displaystyle\mathcal{T}(\Sigma)$ $\displaystyle=\\{\text{structures
complexes compatibles}\\}/\operatorname{Diff}_{0}(\Sigma)$
$\displaystyle=\\{\text{structures presque-complexes
compatibles}\\}/\operatorname{Diff}_{0}(\Sigma)$
$\displaystyle=\\{\text{structures
Riemanniennes}\\}/(\operatorname{Diff}_{0}(\Sigma)+\text{équivalence
conforme})$ $\displaystyle=\\{\text{structures
hyperboliques}\\}/\operatorname{Diff}_{0}(\Sigma)$ $\displaystyle=\text{
composante connexe de
}\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R}))$

Ces multiples points de vue expliquent le grand intérêt porté sur l’espace de
Teichmüller. Il est lui-même riche en structures : il admet par exemple une
structure complexe et une structure symplectique. On résume quelques
propriétés importantes de l’espace de Teichmüller dans le théorème suivant qui
est dû à Teichmüller, Ahlfors, Bers, Fricke, Goldman et d’autres.

######  Théorème (Teichmüller, Ahlfors, Bers, Fricke, Goldman,…).

L’espace de Teichmüller $\mathcal{T}(\Sigma)$ est une variété réelle
contractile de dimension $6g-6$. Il a une structure complexe et une structure
symplectique qui donnent ensemble une structure de variété de Kähler.

En tout point $\mu$ de $\mathcal{T}(\Sigma)$, son espace cotangent est donné
par

$T^{*}_{\mu}\mathcal{T}(\Sigma)\cong H^{0}(K^{2})$

où $H^{0}(K^{2})$ est l’espace des différentielles quadratiques holomorphes
(par rapport à la structure complexe $\mu$).

Le groupe des difféotopies de $\Sigma$ agit proprement discontinûment sur
$\mathcal{T}(\Sigma)$ en préservant la structure Kählerienne. L’espace
quotient est l’espace des modules de Riemann $\mathcal{M}(\Sigma)$.

Le groupe des difféotopies d’une surface (en anglais mapping class group) est
le quotient du group de tous les difféomorphismes par le sous-groupe des
isotopies. L’espace des modules de Riemann $\mathcal{M}(\Sigma)$ est l’espace
des structures complexes modulo tous les difféomorphismes. Pour une exposition
excellente de la théorie de Teichmüller, nous recommandons fortement le livre
de Hubbard [Hu06]. En particulier, il y prouve chaque partie du théorème
précédent (voir théorèmes 6.5.1, 6.6.2, 6.7.2, 7.1.1 et 7.7.2). Pour un
traitement historique via les applications quasi-conformes, voir le livre
d’Ahlfors [Ah66].

####  1.2 Théorie de Teichmüller supérieure

Dans son article pionnier [Hi92], Nigel Hitchin décrit une composante connexe
d’autres variétés de caractères avec des propriétés similaires à l’espace de
Teichmüller. Ces composantes sont maintenant appelées composantes de Hitchin
et leur étude théorie de Teichmüller supérieure. On recommande l’article
[Wi19] pour un aperçu détaillé de cette théorie.

Le point de départ de la théorie est de remplacer dans la variété des
caractères le groupe $\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})$ par un autre groupe
de Lie $G$, i.e. d’étudier l’espace $\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),G)$.
La construction de Hitchin fonctionne pour tout groupe de Lie $G$ sans centre
associé à une forme réelle déployée d’une algèbre de Lie simple. Un exemple
typique est $\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$. Nous nous restreignons à ce
groupe pour la suite.

Pour $\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$, la composante de Hitchin peut être
décrite simplement : d’après la théorie des représentations, on sait que
$\operatorname{SL}_{2}(\mathbb{C})$ admet une unique représentation
irréductible de dimension $n$. Par restriction à
$\operatorname{SL}_{2}(\mathbb{R})$, on obtient une application
$\operatorname{SL}_{2}(\mathbb{R})\rightarrow\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R})$
qui factorise à travers $\\{\operatorname{id},-\operatorname{id}\\}$. En fin
de compte, on obtient une application
$\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})\rightarrow\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$,
appelée application principale. En composant une application fuchsienne
$\pi_{1}(\Sigma)\rightarrow\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})$ avec
l’application principale on obtient un morphisme du groupe fondamental vers
$\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$. Une telle composition est appelée
$\mathbf{n}$-fuchsienne. Un morphisme
$\pi_{1}(\Sigma)\rightarrow\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$ est appelé
$\mathbf{n}$-Hitchin s’il est possible de le déformer continûment en un
morphisme $n$-fuchsien.

L’espace des représentations $n$-Hitchin forme une composante connexe de la
variété des caractères
$\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R}))$. On
dénote la composante de Hitchin par $\mathcal{T}^{n}$. Pour $n=2$ on retrouve
l’espace de Teichmüller. On résume ce qui est connu sur la composante de
Hitchin :

######  Théorème (Hitchin, Goldman, Labourie).

La composante de Hitchin $\mathcal{T}^{n}$ est une variété réelle contractile
de dimension $(n^{2}-1)(2g-2)$. Elle admet une structure symplectique et une
action proprement discontinue par le groupe des difféotopies de $\Sigma$.

La structure symplectique est donnée par une construction générale, due à
Goldman, de structures symplectiques sur des variétés de caractères (cf.
[Go84] et [AB83]). L’action proprement discontinue du groupe des difféotopies
sur la composante de Hitchin a été décrite par Labourie, voir [La08].

Une question naturelle est de savoir si la composante de Hitchin admet une
description géométrique tel l’espace de Teichmüller. Plus précisément :

######  Question ouverte.

Y a-t-il une structure géométrique sur la surface $\Sigma$ dont l’espace des
modules est la composante de Hitchin ?

Cette question est la motivation principale de cette thèse.

De nombreuses approches ont été proposées pour donner une interprétation
géométrique à la composante de Hitchin. Goldman, Guichard–Wienhard, Labourie
et d’autres ont décrit la composante de Hitchin via des structures
géométriques sur des fibrés sur la surface. Pour
$\operatorname{PSL}_{3}(\mathbb{R})$ cette structure géométrique est la
structure projective convexe introduite par Goldman dans [Go90]. Pour $n=4$,
Guichard et Wienhard décrivent des structures convexes feuilletées (en anglais
convex foliated structure) sur l’espace tangent unitaire de $\Sigma$ (voir
[GW08]). Labourie introduit la notion fructueuse d’une _représentation Anosov_
dans [La06]. L’inconvénient de ces constructions (pour $n>3$) est que le fibré
sur lequel sont définies les diverses structures géométriques n’est pas
canoniquement associé à la surface.

Toutes ces généralisations sont des structures géométriques _rigides_ (ce qui
signifie que le groupe local d’automorphismes est de dimension finie). On peut
les considérer comme une généralisation de la structure hyperbolique sur la
surface. Notre approche généralise la structure complexe et aboutit à une
structure _flexible_ (le groupe local des automorphismes contient les
fonctions analytiques, donc est de dimension infinie).

####  1.3 Connexions plates et fibrés de Higgs

L’approche originelle de Hitchin dans [Hi92] pour détecter les composantes qui
portent son nom est analytique via la théorie des fibrés de Higgs. On donne
ici un aperçu très bref de connexions plates et de la théorie des fibrés de
Higgs. Pour plus de détails, nous recommandons [We16], [GP20], et le cours
d’Andrew Neitzke [Ne16].

Le point de départ est le lien important entre la variété des caractères et
les connexions plates. Cette relation porte le nom de correspondance de
Riemann-Hilbert. Étant donné un $G$-fibré sur une surface $\Sigma$ (où $G$ est
un groupe de Lie) avec une connexion plate, alors sa monodromie donne une
application $\pi_{1}(\Sigma)\rightarrow G$. Réciproquement, une telle
représentation provient toujours d’une connexion plate dans un fibré.
Remarquons qu’un fibré qui admet une connexion plate a toutes ses composantes
irréductibles de degré zéro. La variété des caractères
$\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),G)$ est ainsi identifiée à l’espace des
classes de jauge de $G$-connexions plates dans des fibrés sur $\Sigma$.

L’action par conjugaison de $G$ sur $\operatorname{Hom}(\pi_{1}(\Sigma),G)$,
dont le quotient donne la variété des caractères, n’est pas libre. Il est
connu que les points réguliers de $\operatorname{Hom}(\pi_{1}(\Sigma),G)$ sont
ceux pour lesquels la représentation de $\pi_{1}(\Sigma)$ est irréductible. En
général, la variété des caractères est ainsi singulière et non-séparée. Il est
pourtant possible de définir le quotient
$\operatorname{Hom}(\pi_{1}(\Sigma),G)/G$ autrement pour donner une variété
séparée, qui est lisse aux points réguliers. Sans entrer dans les détails,
citons seulement deux possibilités : le quotient géométrique invariant (en
anglais GIT quotient) ou bien la réduction Hamiltonienne (ou réduction
symplectique). Ces procédés font apparaître des conditions dites de stabilité.

L’exemple classique est la variété des caractères pour le groupe unitaire
$G=U(n)$. La condition de stabilité se formule le mieux dans le langage des
fibrés : étant donné un fibré $E$ sur la surface $\Sigma$, on appelle pente de
$E$ (en anglais slope) le quotient du degré de $E$ par son rang :

$\mu(E)=\frac{\deg E}{\operatorname{rk}E}.$

Un fibré est appelé stable si pour tout sous-fibré strict $F$ on a
$\mu(F)<\mu(E)$. On l’appelle semi-stable si $\mu(F)\leq\mu(E)$. Enfin un
fibré est polystable s’il est la somme de fibrés stables ayant tous la même
pente.

Le théorème célèbre de Narasimhan–Seshadri affirme (voir [NS65]) :

######  Théorème (Narasimhan–Seshadri).

Toute représentation unitaire du groupe fondamental $\pi_{1}(\Sigma)$ provient
d’une connexion plate sur un fibré de degré zéro polystable.

Réciproquement, sur un fibré holomorphe de degré zéro stable, il existe une
unique (à jauge unitaire près) connexion unitaire plate compatible avec la
structure holomorphe.

Ce théorème se généralise à toute forme compacte d’un groupe de Lie complexe
simple.

Pour obtenir des informations pour d’autres groupes de Lie, en particulier les
formes déployées, la notion de fibré de Higgs s’est avérée fructueuse. On fixe
une surface de Riemann $\Sigma$. Un fibré de Higgs est un fibré holomorphe $V$
sur $\Sigma$ muni d’une 1-forme holomorphe $\Phi$ à valeurs dans
$\operatorname{End}(V)$. Dans une écriture plus sophistiquée : $\Phi\in
H^{0}(\operatorname{End}(V)\otimes K)$ où $K=T^{*(1,0)}\Sigma$ dénote le fibré
canonique. L’élément $\Phi$ est appelé champ de Higgs. On peut y penser comme
un vecteur tangent à l’espace des connexions. C’est un élément qu’on peut
ajouter à une connexion donnée $\nabla$ pour obtenir une nouvelle connexion
$\nabla+\Phi$. Si on écrit localement $\nabla=d+A$ avec $A$ une 1-forme à
valeur dans $\operatorname{End}(V)$, la différence entre $A$ et $\Phi$ est que
l’action d’une jauge $g$ sur $A$ s’écrit $g.A=gAg^{-1}+gdg^{-1}$ tandis que
sur $\Phi$, on n’a que la conjugaison : $g.\Phi=g\Phi g^{-1}$.

La condition de stabilité pour un fibré de Higgs $(V,\Phi)$ est la suivante :
il faut que pour tout sous-fibré $\Phi$-invariant, la pente soit plus petite
que celle de $V$. L’espace des modules des $G$-fibrés de Higgs, noté
$\mathcal{M}_{H}(G)$, est l’espace des classes de jauges de fibrés de Higgs
polystables.

Le résultat principal de la théorie des fibrés de Higgs est la correspondance
de Hodge non-abelienne, fruit de plusieurs articles de Corlette [Co88],
Donaldson [Do87], Hitchin [Hi87a] et Simpson [Si88]. On peut l’énoncer en deux
parties : étant donné un fibré de Higgs $(V,\Phi)$ stable tel que $\deg V=0$,
alors il existe une unique (à jauge unitaire près) connexion unitaire $A$
compatible avec la structure holomorphe telle que

$\displaystyle\bar{\partial}\Phi+[A^{(0,1)},\Phi]=0$ $\displaystyle
F_{A}+[\Phi,\Phi^{*}]=0$

où $F_{A}$ désigne la courbure de la connexion $A$ et l’opération $*$ est
l’adjoint par rapport à la structure hermitienne sur $V$ définie par $A$. Ces
équations, appelées équations de Hitchin, sont équivalentes à la platitude de
la connexion $\nabla=d+\Phi+A+\Phi^{*}$.

Réciproquement, si un fibré $V$ admet une connexion plate $\nabla$ qui est
complètement réductible (i.e. la monodromie donne une représentation
complètement réductible) alors il existe une métrique sur $V$ telle que
$\nabla$ se décompose en $d+\Phi+A+\Phi^{*}$ satisfaisant les équations de
Hitchin.

Les deux parties ensemble donnent une équivalence entre l’espace des modules
des fibrés de Higgs et les représentations complètement réductibles du groupe
fondamental :

$\operatorname{Rep}^{c.r.}(\pi_{1}(\Sigma),G)\cong\mathcal{M}_{H}(G)$

où $G$ est un groupe de Lie complexe semi-simple. Une façon équivalente
d’exprimer la correspondance de Hodge non-abelienne est de dire que l’espace
$\mathcal{M}_{H}(G)$ est un espace hyperkählerien. Plus de détails sur ce
point de vue seront exposés dans les sections 6.3 et 10.

Dans son article [Hi92], Hitchin introduit une application

$\mathcal{M}_{H}(\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{C}))\rightarrow\bigoplus_{i=2}^{n}H^{0}(K^{i})$

appelée fibration de Hitchin. Elle associe à $(V,\Phi)$ les coefficients du
polynôme caractéristique de $\Phi$. En utilisant la forme de Frobenius d’une
matrice, Hitchin construit une section à la fibration dont l’image, à travers
la correspondance de Hodge non-abelienne, est à monodromie dans
$\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$. Il prouve que cette image est une
composante connexe de
$\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R}))$.
Ainsi la composante de Hitchin est paramétrée par des différentielles
holomorphes.

####  1.4 Résumé

Cette thèse est composée de quatre parties et d’un appendice. Le grand thème
est de construire une nouvelle approche géométrique à la théorie de
Teichmüller supérieure.

La partie I traite de la construction et des propriétés d’une nouvelle
structure géométrique sur des surfaces, la structure complexe supérieure.

Une structure complexe sur une surface $\Sigma$ peut être encodée par la
différentielle de Beltrami $\mu_{2}$, qu’on peut voir comme une direction dans
l’espace cotangent complexifié $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$. L’idée de la
généralisation est de remplacer cette direction linéaire par un $n$-jet de
courbe.

Pour formaliser cette idée, nous utilisons un outil algébrique : le schéma de
Hilbert ponctuel du plan $\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ qu’on
introduit et explique en détail dans la section 4. Un point dans
$\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ est un idéal de $\mathbb{C}[x,y]$ de
codimension $n$. On peut y penser comme l’espace des $n$-uplets de points du
plan $\mathbb{C}^{2}$ conservant une information supplémentaire quand
plusieurs points coïncident. La zéro-fibre
$\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(\mathbb{C}^{2})$ est l’espace des idéaux
supportés en l’origine, càd. que les $n$ points coïncident tous avec
l’origine. Un élément générique de la zéro-fibre peut être considéré comme un
$(n-1)$-jet de courbe, la courbe le long de laquelle les $n$ points sont
entrés en collision.

Le schéma de Hilbert ponctuel admet une description matricielle comme la
variété des classes de conjugaison de paires de matrices commutantes. La zéro-
fibre correspond aux matrices commutantes qui sont nilpotentes. Voir la sous-
section 4.4.

Dans la section 5 on définit la structure complexe supérieure (ou structure
$n$-complexe). On applique le schéma de Hilbert point par point aux espaces
cotangents complexifiés $T_{z}^{*\mathbb{C}}\Sigma$ pour obtenir un fibré en
schémas de Hilbert noté $\operatorname{Hilb}^{n}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$. La
structure complexe supérieure est définie comme une section de la zéro-fibre
$\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$. Cette structure
généralise la structure complexe qu’on retrouve pour $n=2$. Une telle
structure est caractérisée par des différentielles de Beltrami supérieures
$\mu_{2},...,\mu_{n}$. On peut penser à la structure $n$-complexe comme une
sorte de pelouse sur la surface (polynomiale dans l’espace cotangent), ou bien
comme un $n$-jet de surface à l’intérieur de $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$ le long
de la section nulle, ou bien comme certaines 1-formes à valeurs dans les
matrices qu’on peut écrire localement sous la forme
$\Phi_{1}dz+\Phi_{2}d\bar{z}$ où $\Phi_{1}$ et $\Phi_{2}$ sont des matrices
nilpotentes commutantes.

Pour obtenir un espace des modules de dimension finie, on considère les
structures $n$-complexes modulo une relation d’équivalence. Comme la structure
$n$-complexe est polynomiale dans l’espace cotangent, il est naturel de
considérer des transformations polynomiales de $T^{*}\Sigma$. De telles
transformations peuvent être obtenues par des symplectomorphismes de
$T^{*}\Sigma$ engendrés par des Hamiltoniens polynomiaux. Ces transformations
sont appelées difféomorphismes supérieurs, et leur groupe est noté
$\operatorname{Symp}_{0}$.

Le premier résultat de la thèse est que la théorie locale de la structure
$n$-complexe est triviale (voir Théorème 5.7) :

######  Théorème (Théorie locale).

La structure $n$-complexe peut être localement trivialisée par un
difféomorphisme supérieur. Autrement dit, deux structures complexes
supérieures sont localement équivalentes.

L’espace des modules $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ des structures
$n$-complexes admet les propriétés suivantes (voir Théorème 5.9 et Proposition
5.10) :

######  Théorème (Théorie globale).

Pour une surface de genre au moins 2, l’espace des modules
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ est une variété contractile de dimension
complexe $(n^{2}-1)(g-1)$. Son espace cotangent en un point $\mu$ est donné
par (où $K$ désigne le fibré canonique)

$T^{*}_{\mu}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}=\bigoplus_{m=2}^{n}H^{0}(K^{m}).$

En outre, il y a une application d’oubli
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}\rightarrow\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n-1}$ et une
copie de l’espace de Teichmüller
$\mathcal{T}^{2}\rightarrow\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$.

Une propriété importante du schéma de Hilbert est qu’il admet une structure
symplectique complexe et même hyperkählerienne, qu’on étudie dans la section
6. Ceci permet de décrire dans la section 7 l’espace cotangent total
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ qui va jouer un rôle important dans le
lien avec la théorie de Teichmüller supérieure. Un point de
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ est caractérisé par des différentielles
$t_{k}$ et des différentielles de Beltrami supérieures $\mu_{k}$ avec une
condition sur $t_{k}$ qui généralise la condition d’holomorphicité. Dans le
cas où $\mu_{k}=0$ pour tout $k$, on retrouve la condition
$\bar{\partial}t_{k}=0$.

Un point de $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ est une section du fibré en
schémas de Hilbert $\operatorname{Hilb}^{n}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$, ou bien
un $n$-uplet de 1-formes ($n$ points dans chaque espace cotangent). Cette
collection de 1-formes définit une courbe spectrale $\bm{\tilde{}}{\Sigma}$
dans $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$, qui est analysée dans 7.2. La propriété
principale de $\bm{\tilde{}}{\Sigma}$ est qu’elle est Lagrangienne modulo
$t^{2}$ (voir Théorème 7.3). Ainsi, les périodes de la 1-forme de Liouville de
$T^{*\mathbb{C}}\Sigma$ sont bien définies (modulo $t^{2}$). On conjecture que
ces périodes donnent un système de coordonnées sur
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ et, avec une procédure limite adaptée,
aussi sur $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$.

Dans la section 8, on définit une structure conjuguée à la structure complexe
supérieure ainsi qu’à un point de $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$. Pour
$n=2$ l’espace $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ s’interprète comme
l’ensemble des surfaces de demi-translation (half-translation surfaces en
anglais). Ainsi il admet une action naturelle de
$\operatorname{GL}_{2}(\mathbb{R})$. Dans la section 9 nous montrons que
$\operatorname{GL}_{2}(\mathbb{R})$ agit également sur
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ pour tout $n$.

La partie II tisse un lien avec les composantes de Hitchin en exploitant la
structure hyperkählerienne du schéma de Hilbert. Nous déformons
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ en un espace de connexions plates. Un
point de $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ étant décrit essentiellement par
deux polynômes, leur déformation consiste en une paire d’opérateurs
différentiels commutants à laquelle on peut associer une connexion plate. Pour
faire le lien avec la théorie de Teichmüller supérieure, on cherche à associer
canoniquement une connexion plate à un point de
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$. Nous présentons des résultats partiels
dans cette direction. Dans la section 10, on expose les grandes lignes de
notre approche et on la compare à celle de Hitchin.

Du point de vue matriciel, une structure complexe supérieure est une 1-forme à
valeurs dans $\mathfrak{sl}_{n}(\mathbb{C})$ de la forme
$\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}$. La déformation de cette structure consiste à
l’inclure dans une famille de connexions à paramètre $\lambda$ de la forme
$d+\lambda\Phi+A+\lambda^{-1}\Phi^{*}$. Dans la section 11, on extrait d’une
connexion de ce type des différentielles holomorphes $t_{k}$.

Un théorème célèbre d’Atiyah–Bott établit une bijection entre l’espace des
connexions plates et la réduction hamiltonienne de l’espace de toutes les
connexions $\mathcal{A}$ par les jauges $\mathcal{G}$. La section 12 étudie la
réduction de $\mathcal{A}$ par un sous-groupe $\mathcal{P}$ des jauges,
appelées jauges paraboliques, qui fixent une direction donnée. Nous démontrons
que la réduction $\mathcal{A}\sslash\mathcal{P}$ est un espace de paires
d’opérateurs différentiels, paramétré par des variables $\bm{\hat{}}{t}_{k}$
et $\bm{\hat{}}{\mu}_{k}$ avec $2\leq k\leq n$.

Ces deux opérateurs différentiels commutent si les $\bm{\hat{}}{t}_{k}$
vérifient une certaine condition similaire à la condition des variables
$t_{k}$ de $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$. On peut obtenir cette
condition sur $\bm{\hat{}}{t}_{k}$ comme l’application moment d’une deuxième
réduction hamiltonienne. Dans 12.3, nous expliquons comment associer une jauge
à un difféomorphisme supérieur. En effectuant une deuxième réduction par
rapport à ces jauges, on obtient (voir Corollaire 12.8) :

######  Théorème.

La double réduction
$\mathcal{A}\sslash\mathcal{P}\sslash\operatorname{Symp}_{0}$ est un espace de
connexions plates.

Dans la section 13, on généralise la réduction parabolique à l’espace des
$h$-connexions. Ainsi on inclut
$\mathcal{A}\sslash\mathcal{P}\sslash\operatorname{Symp}_{0}$ dans une famille
à un paramètre d’espaces de même type. Appelons $\lambda\in\mathbb{C}^{*}$ ce
paramètre ($\lambda=h^{-1}$). On obtient ainsi un espace de paires
d’opérateurs différentiels dépendant d’un paramètre $\lambda$, paramétré par
$\bm{\hat{}}{t}_{k}(\lambda)$ et $\bm{\hat{}}{\mu}_{k}(\lambda)$. Quand
$\lambda$ tend vers l’infini on retrouve les deux polynômes décrivant l’espace
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$. Plus précisément, dans un développement
de Taylor, les plus hauts termes en $\lambda$ de $\bm{\hat{}}{t}_{k}(\lambda)$
et $\bm{\hat{}}{\mu}_{k}(\lambda)$ donnent les coordonnées $t_{k}$ et
$\mu_{k}$ de $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$. En particulier, on prouve
dans le Théorème 13.4 :

######  Théorème.

L’action infinitésimale de $\operatorname{Symp}_{0}$ sur les plus hauts termes
$\mu_{k}$ des coordonnées $\bm{\hat{}}{\mu}_{k}$ de la réduction parabolique
$\mathcal{A}(h)\sslash\mathcal{P}$ est identique à celle des difféomorphismes
supérieurs sur la structure $n$-complexe.

Par conséquent, l’espace
$\mathcal{A}\sslash\mathcal{P}\sslash\operatorname{Symp}_{0}$ à paramètre
$\lambda$ tend vers $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ quand $\lambda$ tend
vers l’infini. Quand $\lambda$ tend vers 0, on retrouve la structure
$n$-complexe conjuguée.

Dans la section 14, on essaie de démontrer qu’on peut associer canoniquement
une connexion parabolique plate $\mathcal{A}(\lambda)$ à un point de
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$. Ce serait un analogue à la correspondance
de Hodge non-abélienne dans le contexte des fibrés de Higgs. Nous obtenons des
résultats partiels dans ce sens. Dans un cas particulier, nous retrouvons la
correspondance de Hodge non-abelienne pour un champ de Higgs nilpotent. Notre
conjecture principale s’énonce ainsi (voir Conjecture 14.7) :

######  Conjecture.

Étant donné un élément $[(\mu_{k},t_{k})]\in
T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ et une donnée finie (conditions initiales
d’équations différentielles), il existe une unique (à jauge unitaire près)
connexion plate $\mathcal{A}(\lambda)=\lambda\Phi+A+\lambda^{-1}\Phi^{*}$
vérifiant

  1. 1.

Localement, $\Phi=\Phi_{1}dz+\Phi_{2}d\bar{z}$ avec $\Phi_{1}$ nilpotent
principal et $\Phi_{2}=\mu_{2}\Phi_{1}+...+\mu_{n}\Phi_{1}^{n-1}$

  2. 2.

$-\mathcal{A}(-1/\bar{\lambda})^{*}=\mathcal{A}(\lambda)$ (condition de
réalité)

  3. 3.

$t_{k}=\operatorname{tr}\Phi_{1}^{k-1}A_{1}$.

De surcroît, si $t_{k}=0$ pour tout $k$, alors la monodromie de
$\mathcal{A}(\lambda)$ est dans $\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$.

Admettant cette conjecture, nous en déduisons (voir Théorème 14.9) :

######  Corollaire.

Admettant la conjecture précédente, il existe un isomorphisme canonique entre
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ et la composante de Hitchin $\mathcal{T}^{n}$.

Dans la partie III du manuscrit, nous généralisons la partie I à un groupe de
Lie simple $G$ quelconque. Nous définissons une généralisation du schéma de
Hilbert ponctuel, associé à une algèbre de Lie simple $\mathfrak{g}$. A l’aide
de sa zéro-fibre nous construisons une nouvelle structure géométrique
généralisant à la fois la structure complexe et la structure $n$-complexe (qui
représente le cas $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{n}$), appelée structure
$\mathfrak{g}$-complexe.

Dans la section 15 nous introduisons le $\mathfrak{g}$-schéma de Hilbert, noté
$\operatorname{Hilb}(\mathfrak{g})$, comme un sous-espace de la variété des
éléments commutants $\\{(A,B)\in\mathfrak{g}^{2}\mid[A,B]=0\\}/G$. La zéro-
fibre est constituée des éléments commutants nilpotents. Un premier résultat
est (voir Corollaire 15.11) :

######  Proposition.

La partie régulière de la zéro-fibre
$\operatorname{Hilb}^{reg}_{0}(\mathfrak{g})=\operatorname{Hilb}^{reg}(\mathfrak{g})\cap\operatorname{Hilb}_{0}(\mathfrak{g})$
est une variété affine de dimension $\operatorname{rk}\mathfrak{g}$.

Nous étudions en détail le cas d’une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ classique.
Signalons que pour l’instant $\operatorname{Hilb}(\mathfrak{g})$ est un espace
non-séparé (non-Hausdorff). On conjecture qu’on peut modifier sa définition
pour obtenir un espace séparé.

En utilisant $\operatorname{Hilb}_{0}(\mathfrak{g})$, nous construisons dans
16 la structure $\mathfrak{g}$-complexe. On peut la voir comme une 1-forme à
valeurs dans $\mathfrak{g}$ avec certaines propriétés. On démontre qu’une
structure $\mathfrak{g}$-complexe induit une structure complexe sur la
surface. En plus, on paramètre une structure $\mathfrak{g}$-complexe avec des
différentielles de Beltrami supérieures.

Pour une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ classique, on introduit des
difféomorphismes supérieurs de type $\mathfrak{g}$ qui agissent sur la
structure $\mathfrak{g}$-complexe. La théorie locale est donnée par le
Théorème 17.3 :

######  Théorème.

Pour $\mathfrak{g}$ de type $A_{n}$, $B_{n}$ ou $C_{n}$, la structure
$g$-complexe peut être trivialisée localement.

Pour $\mathfrak{g}$ de type $D_{n}$, toutes les structures
$\mathfrak{g}$-complexes dont la différentielle supérieure $\sigma_{n}$ n’a
pas de zéros sont localement équivalentes sous difféomorphismes supérieurs.
Cependant, l’ensemble $\\{z\in\mathbb{C}\mid\sigma_{n}(z)=0\\}$ est un
invariant.

L’espace des modules $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$ de la structure
$\mathfrak{g}$-complexe admet les propriétés suivantes (voir Théorème 17.5 et
Proposition 17.6) :

######  Théorème.

Pour $\mathfrak{g}$ de type $A_{n},B_{n}$ ou $C_{n}$, et une surface $\Sigma$
de genre $g\geq 2$, l’espace $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$ est une
variété contractile de dimension complexe $(g-1)\dim\mathfrak{g}$. Son espace
cotangent en un point $I$ est donné par

$T^{*}_{I}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}=\bigoplus_{m=1}^{r}H^{0}(K^{m_{i}+1})$

où $(m_{1},...,m_{r})$ désignent les exposants de $\mathfrak{g}$ et
$r=\operatorname{rk}\mathfrak{g}$ le rang de $\mathfrak{g}$. De plus,
l’application principale $\mathfrak{sl}_{2}\rightarrow\mathfrak{g}$ induit une
inclusion de l’espace de Teichmüller dans
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$.

Pour le type $D_{n}$, l’espace $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$ est
un espace topologique contractile. Le lieu où les zéros de la différentielle
de Beltrami supérieure $\sigma_{n}$ sont discrets dans $\Sigma$ est une
variété lisse avec les propriétés ci-dessus (dimension, espace cotangent et
copie de l’espace de Teichmüller).

Comme pour la structure $n$-complexe, on peut associer à un point de
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$ une courbe spectrale
$\bm{\tilde{}}{\Sigma}\subset T^{*\mathbb{C}}\Sigma$ qui est Lagrangienne.

Dans la dernière partie IV, nous exposons les questions et conjectures qui
restent pour l’instant ouvertes et nous discutons des liens possibles entre
les structures complexes supérieures et d’autres sujets dans la théorie de
Teichmüller supérieure, comme par exemple les réseaux spectraux de Gaiotto-
Moore-Neitzke, les opères, les variétés amassées et la symétrie miroir.

On inclut un appendice A dans lequel on traite les éléments réguliers d’une
algèbre de Lie semi-simple. Ce matériel est nécessaire uniquement pour la
partie III.

Les sous-sections avec un astérisque ne sont pas essentielles pour la
compréhension globale et peuvent être sautées dans une première lecture.

###  2 Introduction and summary (in English)

Dass ich erkenne, was die Welt

Im Innersten zusammenhält.

[…]

Wie alles sich zum Ganzen webt,

Eins in dem andern wirkt und lebt!111That I may understand whatever / Binds
the world’s innermost core together. / […] / How each to the Whole its
selfhood gives, / One in another works and lives! Translation by A.S. Kline

Johann Wolfgang von Goethe, “Faust”

####  2.1 Introduction

The main goal of this PhD thesis is to construct a new geometric approach to
higher Teichmüller theory. We give here a short introduction to this theory,
selecting those issues which we need for our work.

Teichmüller and higher Teichmüller theory study global aspects of geometric
structures on surfaces and their interaction with representations of the
fundamental group of the surface into a Lie group.

Consider a smooth compact oriented surface $\Sigma$ of genus at least 2. Equip
$\Sigma$ with a complex structure (compatible with the orientation of
$\Sigma$), so that $\Sigma$ becomes a Riemann surface. The space of all
complex structures is infinite-dimensional since we can locally change the
complex structure by a holomorphic map. The group
$\operatorname{Diff}_{0}(\Sigma)$ of diffeomorphisms of $\Sigma$ isotopic to
the identity acts on complex structures. The quotient space, i.e. the space
where we identify all complex structures which differ by an element of
$\operatorname{Diff}_{0}(\Sigma)$, is called Teichmüller space, denoted by
$\mathcal{T}(\Sigma)$.

Surprisingly, Teichmüller space is also the moduli space of other geometric
structures on the surface. To a complex structure, you can associate in a
unique way a hyperbolic structure, i.e. a Riemannian metric with constant
curvature -1. It is the metric which in local complex coordinates
$(z,\bar{z})$ can be written $e^{\varphi}dzd\bar{z}$ where $\varphi$ satisfies
Liouville’s equation $\frac{1}{2}\partial\bar{\partial}\varphi=e^{\varphi}$.
Conversely you can associate a unique complex structure to a given hyperbolic
metric. Therefore, Teichmüller space is also the space of all hyperbolic
structures modulo $\operatorname{Diff}_{0}(\Sigma)$.

There is also an important link to representations of the fundamental group
$\pi_{1}(\Sigma)$. A complex structure on $\Sigma$ can be lifted to its
universal cover $\bm{\tilde{}}{\Sigma}$ which is topologically the hyperbolic
plane. By the uniformization theorem of Poincaré, $\bm{\tilde{}}{\Sigma}$ with
the induced complex structure from $\Sigma$ is biholomorphic to the hyperbolic
plane $\mathbf{H}$. To get the Riemann surface $\Sigma$ back, it is sufficient
to quotient $\mathbf{H}$ by the action of the fundamental group
$\pi_{1}(\Sigma)$ which acts by isometries. The isometry group of $\mathbf{H}$
being $\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})$, the action is given by a map
$\pi_{1}(\Sigma)\rightarrow\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})$. This
homomorphism has to be faithful and discrete in order to get a free and
properly discontinuous action on $\mathbf{H}$. Such a morphism is called
fuchsian. Two representations give the same complex structure on $\Sigma$ iff
they differ by a Möbius transformation. Therefore, Teichmüller space can be
identified with the connected component of the character variety

$\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R}))=\operatorname{Hom}(\pi_{1}(\Sigma),\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R}))/\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})$

whose morphisms are discrete and faithful.

Thanks to the different descriptions, Teichmüller space enjoys lots of
interesting properties: it is a contractible differentiable manifold with a
complex and a symplectic structure, which both together give a Kähler
structure. Its cotangent space at a point $T^{*}_{\mu}\mathcal{T}(\Sigma)$ is
given by holomorphic quadratic differentials. The mapping class group
$\operatorname{MCG}(\Sigma)$ acts properly discontinuously on
$\mathcal{T}(\Sigma)$ preserving the Kähler structure. We warmly recommend
Hubbard’s book [Hu06] on Teichmüller theory. In particular he proves all the
properties of Teichmüller space we just listed. For a historical account via
quasiconformal mappings, we refer to Ahlfors’ book [Ah66].

In his seminal paper [Hi92], Nigel Hitchin describes a connected component of
other character varieties with properties similar to Teichmüller space. These
components are now called Hitchin components and their study higher
Teichmüller theory. We refer to [Wi19] for an overview on this vast theory.

The starting point is to replace the group
$\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})$ by another Lie group $G$, i.e. to study
the character variety $\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),G)$. Hitchin’s
construction works for a Lie group associated to a split form of a complex
simple Lie algebra. A good example is $\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$ to
which we restrict in the sequel. We denote by $\mathcal{T}^{n}$ Hitchin’s
component for $\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$.

From the representation theory point of view, the Hitchin component consists
of those morphisms
$\pi_{1}(\Sigma)\rightarrow\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$ which can be
continuously deformed to a composition of the form
$\pi_{1}(\Sigma)\rightarrow\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})\rightarrow\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$
where the first arrow is a fuchsian map and the second is the principal map.
The principal map in our case is the unique irreducible representation of
$\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{R})$ of dimension $n$.

We summarize the main properties of Hitchin’s component in the following
theorem:

######  Theorem (Hitchin, Goldman, Labourie).

The Hitchin component $\mathcal{T}^{n}$ is a contractible real manifold of
dimension $(n^{2}-1)(2g-2)$. It admits a symplectic structure and a properly
discontinuous action of the mapping class group of $\Sigma$.

The symplectic structure comes from a general construction due to Goldman (see
[Go84] and [AB83]). The properly discontinuous action of the mapping class
group was described by Labourie in [La08].

A natural question to ask is whether Hitchin components allow a geometric
description like Teichmüller space. More precisely:

######  Open question.

Is there a geometric structure on the surface $\Sigma$ whose moduli space is
Hitchin’s component?

This question is the main motivation for this thesis.

The search for a geometric origin of Hitchin’s component is not new. Goldman,
Guichard–Wienhard, Labourie and others describe Hitchin’s component via
geometric structures on bundles over the surface. For
$\operatorname{PSL}_{3}(\mathbb{R})$, this geometric structure is the convex
projective structure described by Goldman in [Go90]. For $n=4$, Guichard and
Wienhard describe convex foliated structures on the unit tangent bundle in
[GW08]. Labourie introduces the fruitful concept of Anosov representations in
[La06]. The drawback of these constructions (for $n>3$) is that the bundle on
which the geometric structure is defined is not canonically associated to the
surface.

All these generalizations are rigid geometric structures (meaning that the
local automorphism group is finite dimensional). Our generalization is not
rigid in this sense but behaves as a generalization of complex structures
(with local automorphism group holomorphic functions which are infinite
dimensional).

Hitchin’s original approach uses Higgs bundle theory, especially the
hyperkähler structure of the moduli space of Higgs bundles giving the non-
abelian Hodge correspondence. For more details on Higgs bundles, we recommend
[We16], [GP20], and the lecture notes of Andrew Neitzke [Ne16].

Given a Riemann surface $\Sigma$, a Higgs bundle is a holomorphic bundle $V$
equipped with a holomorphic $\operatorname{End}(V)$-valued 1-form $\Phi$. In
more sophisticated language, we have $\Phi\in
H^{0}(\operatorname{End}(V)\otimes K)$ where $K=T^{*(1,0)}\Sigma$ denotes the
canonical bundle. The element $\Phi$ is called the Higgs field. You can think
of it as a cotangent vector to the space of connections. Given a connection
$\nabla=d+A$, we can add the Higgs field $\Phi$ to $\nabla$. The only
difference between $A$ and $\Phi$ is their transformation under a gauge $g$:
whereas $g.A=gAg^{-1}+gdg^{-1}$ we have $g.\Phi=g\Phi g^{-1}$.

The moduli space of $G$-Higgs bundles $\mathcal{M}_{H}(G)$ is the space of all
gauge classes of polystable Higgs bundles. One of its main properties is that
$\mathcal{M}_{H}$ is a hyperkähler manifold, i.e. it admits a 1-parameter
family of Kähler structures. In one Kähler structure, we get the moduli space
of Higgs bundles with its complex structure. In another complex structure, we
get the character variety $\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),G^{\mathbb{C}})$
for the complex Lie group $G^{\mathbb{C}}$. There is a way to describe all
different Kähler structures in a hyperkähler manifold at once: the twistor
approach from [HKLR].

For the moduli space of Higgs bundles, the twistor approach gives the non-
abelian Hodge correspondence, fruit of several papers of Corlette [Co88],
Donaldson [Do87], Hitchin [Hi87a] and Simpson [Si88]. Given a stable Higgs
bundle $(V,\Phi)$ with $\deg V=0$, there is a unique (up to unitary gauge)
unitary connection $A$ compatible with the holomorphic structure such that

$\displaystyle\bar{\partial}\Phi+[A^{(0,1)},\Phi]=0$ $\displaystyle
F_{A}+[\Phi,\Phi^{*}]=0$

where $F_{A}$ denotes the curvature of $A$ and the operation $*$ is the
adjoint with respect to the Hermitian metric $V$ induced by $A$. These
equations, called Hitchin equations, are equivalent to the flatness of the
connection $\nabla=d+\Phi+A+\Phi^{*}$.

Conversely, if a bundle $V$ has a flat connection $\nabla$ which is completely
reducible, there is a metric on $V$ such that $\nabla$ decomposes as
$d+\Phi+A+\Phi^{*}$ satisfying Hitchin equations.

In his paper [Hi87b], Hitchin introduces a map

$\mathcal{M}_{H}(\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{C}))\rightarrow\bigoplus_{i=2}^{n}H^{0}(K^{i})$

called Hitchin fibration. It associates to $(V,\Phi)$ the coefficients of the
characteristic polynomial of $\Phi$. Using a principal slice, Hitchin
constructs in [Hi92] a section to the fibration whose image, through the non-
abelian Hodge correspondence, has monodromy in
$\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$. He proves that this image is a connected
component of
$\operatorname{Rep}(\pi_{1}(\Sigma),\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R}))$.

We will see lots of similarities but also differences between Hitchin’s
original approach and our approach.

####  2.2 Summary

As already pointed out, the main motivation of the thesis is to give a new
geometric approach to Hitchin components. We construct a new geometric
structure on a surface, called higher complex structure, which generalizes the
complex structure. We define a moduli space of higher complex structures which
shares numerous properties with Hitchin’s component.

To get a direct link to character varieties, we define a setting analogous to
Higgs bundles, but on a smooth surface (without underlying complex structure).
We replace the holomorphic Higgs field $\Phi$ by a matrix-valued 1-form
$\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}$ (decomposed into $(1,0)$\- and $(0,1)$-part in some
reference complex structure) where $\Phi\wedge\Phi=0$. So locally, $\Phi_{1}$
and $\Phi_{2}$ can be identified with two nilpotent commuting matrices. We
analyze how to deform this 1-form to get a flat connection. We wish to
establish a correspondence between flat connections and 1-forms of type
$\Phi_{1}+\Phi_{2}$. We present partial results in that direction. Assuming
this correspondence, we get a canonical diffeomorphism between the moduli
space of higher complex structures and Hitchin’s component.

The manuscript is divided into four parts and one appendix.

Part I treats the construction and properties of the new geometric structure
on surfaces, the higher complex structure.

A complex structure on a surface $\Sigma$ can be encoded by the Beltrami
differential $\mu_{2}$, which determines a direction in each complexified
cotangent space $T^{*\mathbb{C}}_{z}\Sigma$. The idea of the generalization is
to replace the linear direction by an $n$-jet of a curve.

In order to formalize this idea, we use the punctual Hilbert scheme of the
plane $\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ which we introduce and explain
in detail in section 4. The space $\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ is
the space of all ideals of $\mathbb{C}[x,y]$ of codimension $n$. Roughly
speaking it parameterizes $n$ points in the plane $\mathbb{C}^{2}$ and retains
some extra information whenever several points coincide. The zero-fiber
$\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(\mathbb{C}^{2})$ is the space of all ideals
supported at the origin, i.e. when all $n$ points coincide with the origin. A
generic element of the zero-fiber can be considered as an $(n-1)$-jet of a
curve, the curve along which the $n$ points collapse into the origin.

The punctual Hilbert scheme admits another description, in purely linear
algebraic terms. It is the variety of conjugacy classes of pairs of commuting
matrices. The zero-fiber corresponds to nilpotent matrices. See subsection
4.4.

In section 5 we define the higher complex structure (also called $n$-complex
structure). We apply the Hilbert scheme pointwise to the complexified
cotangent spaces $T_{z}^{*\mathbb{C}}\Sigma$ to get a Hilbert scheme bundle
$\operatorname{Hilb}^{n}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$. The higher complex structure
is defined as a section of the zero-fiber
$\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$. It is a generalization
of complex structures which we recover for $n=2$. A higher complex structure
is parameterized by higher Beltrami differentials $\mu_{2},...,\mu_{n}$. We
can think of the higher complex structure either as a kind of lawn on the
surface (polynomial in the cotangent bundle), or as an $(n-1)$-jet of a
surface inside $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$ along the zero-section, or in the
matrix viewpoint as a subset of $\mathfrak{sl}_{n}$-valued 1-forms locally of
the form $\Phi_{1}dz+\Phi_{2}d\bar{z}$ where $\Phi_{1}$ and $\Phi_{2}$ are
commuting nilpotent matrices.

To define a finite-dimensional moduli space, the space of $n$-complex
structures has to be considered modulo some equivalence relation. Since the
$n$-complex structure is polynomial in the cotangent space, it is natural to
consider polynomial transformations of the cotangent bundle. These can be
described by special symplectomorphisms of $T^{*}\Sigma$ generated by
polynomial Hamiltonians. These special symplectomorphisms are called higher
diffeomorphisms, and their group is denoted by $\operatorname{Symp}_{0}$.

The first result of this work is that the local theory of the $n$-complex
structure is trivial (see Theorem 5.7):

######  Theorem (Local theory).

Any $n$-complex structure can be locally trivialized under a higher
diffeomorphism. In other words, any two higher complex structures are locally
equivalent.

The moduli space $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ of $n$-complex structures has
the following properties (see Theorem 5.9 and Proposition 5.10):

######  Theorem (Global theory).

For a surface $\Sigma$ of genus $g\geq 2$ the moduli space
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ is a contractible manifold of complex dimension
$(n^{2}-1)(g-1)$. In addition, its cotangent space at any point
$\mu=(\mu_{2},...,\mu_{n})$ is given by (where $K$ denotes the canonical
bundle)

$T^{*}_{\mu}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}=\bigoplus_{m=2}^{n}H^{0}(K^{m}).$

In addition, there is a forgetful map
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}\rightarrow\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n-1}$ and a
copy of Teichmüller space
$\mathcal{T}^{2}\rightarrow\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$.

One important feature of the punctual Hilbert scheme is that it is a
hyperkähler manifold. In section 6 we explore the symplectic and hyperkähler
structure of $\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$. With this, in section
7, we can describe the total cotangent space
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ which plays an important role for the link
to higher Teichmüller theory. A point in $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$
is characterized by differentials $t_{k}$ and higher Beltrami differentials
$\mu_{k}$ with a condition on $t_{k}$ generalizing the holomorphicity
condition. For $\mu_{k}=0$ for all $k$, we recover $\bar{\partial}t_{k}=0$.

A point in $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ can be seen as a section of the
Hilbert scheme bundle $\operatorname{Hilb}^{n}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$, or
equivalently as a collection of $n$ complex 1-forms ($n$ points in every
cotangent space). All together, they give a spectral curve
$\bm{\tilde{}}{\Sigma}$ in $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$ which is described in 7.2.
The main property is that $\bm{\tilde{}}{\Sigma}$ is Lagrangian modulo $t^{2}$
(see Theorem 7.3). Thus, the periods of the Liouville 1-form of
$T^{*\mathbb{C}}\Sigma$ are well-defined modulo $t^{2}$. We conjecture that
these periods give a coordinate system on $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$
and, by some limit procedure, also on $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$.

In section 8 we define a conjugated higher complex structure and a conjugated
space to $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$. For $n=2$ the space
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ has an interpretation as space of half-
translation surfaces. Thus there is a natural
$\operatorname{GL}_{2}(\mathbb{R})$-action. In section 9 we show that
$\operatorname{GL}_{2}(\mathbb{R})$ acts on
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ for all $n$.

Part II ties a link to Hitchin components taking advantage of the hyperkähler
structure of the Hilbert scheme. We deform $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$
to a space of flat connections. A point in $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$
is essentially described by two polynomials, the deformation space consists of
a pair of commuting differential operators to which we can associate a flat
connection. To get a link to higher Teichmüller theory, we want to canonically
associate a flat connection to a point in $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$.
We have partial results in this direction. In section 10, we describe our
approach and compare it to Hitchin’s approach.

In the matrix viewpoint, a higher complex structure is a
$\mathfrak{sl}_{n}(\mathbb{C})$-valued 1-form of the form
$\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}$. To deform this structure, we include it into a
family of connections with parameter $\lambda$ of the form
$d+\lambda\Phi+A+\lambda^{-1}\Phi^{*}$. In section 11 we extract holomorphic
differentials $t_{k}$ from connections of this type.

A famous theorem of Atiyah–Bott describes the space of flat connections as the
hamiltonian reduction of the space of all connections $\mathcal{A}$ by the
gauge group $\mathcal{G}$. Section 12 studies the reduction of $\mathcal{A}$
by a subgroup $\mathcal{P}$ of all gauges, those fixing a given direction,
which we call parabolic gauge transformations. We prove that the reduction
$\mathcal{A}\sslash\mathcal{P}$ is a space of pairs of differential operators,
parameterized by variables $\bm{\hat{}}{t}_{k}$ and $\bm{\hat{}}{\mu}_{k}$.

These differential operators commute under some condition on
$\bm{\hat{}}{t}_{k}$ which is similar to the higher holomorphicity condition.
We can obtain this condition on $\bm{\hat{}}{t}_{k}$ as the moment map of a
second hamiltonian reduction. In 12.3, we explain how to associate a gauge to
a higher diffeomorphism. We have to perform the reduction with respect to
these gauges to obtain the following result (see Corollary 12.8):

######  Theorem.

The double reduction
$\mathcal{A}\sslash\mathcal{P}\sslash\operatorname{Symp}_{0}$ gives a space of
flat connections.

In section 13 we generalize the parabolic reduction to the space of
$h$-connections. In this way we include
$\mathcal{A}\sslash\mathcal{P}\sslash\operatorname{Symp}_{0}$ into a one-
parameter family of spaces of the same type. Let us call $\lambda$ this
parameter ($\lambda=h^{-1}$). Thus, we get a space of pairs of differential
operators depending on $\lambda$, parameterized by
$\bm{\hat{}}{t}_{k}(\lambda)$ and $\bm{\hat{}}{\mu}_{k}(\lambda)$. In the
limit $\lambda\rightarrow\infty$ we get the two polynomials describing
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ back. More precisely, in a Taylor
development in $\lambda$, the highest terms of $\bm{\hat{}}{t}_{k}(\lambda)$
and $\bm{\hat{}}{\mu}_{k}(\lambda)$ are the coordinates $t_{k}$ and $\mu_{k}$
of $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$. In particular, we prove in Theorem
13.4:

######  Theorem.

The infinitesimal action of $\operatorname{Symp}_{0}(\Sigma)$ on the highest
terms $\mu_{k}$ of the coordinates $\bm{\hat{}}{\mu}_{k}(\lambda)$ of the
parabolic reduction $\mathcal{A}(h)\sslash\mathcal{P}$ is the same as the
infinitesimal action of higher diffeomorphisms on the $n$-complex structure.

As a consequence, the space
$\mathcal{A}\sslash\mathcal{P}\sslash\operatorname{Symp}_{0}$ with parameter
$\lambda$ tends to $T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ when $\lambda$ tends to
infinity. When $\lambda$ tends to $0$, we recover the conjugated $n$-complex
structure.

In section 14, we try to prove that one can canonically associate a flat
parabolic connection $\mathcal{A}(\lambda)$ to a point in
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$. This would be an analog to the non-
abelian Hodge correspondence in the Higgs bundle setting. We obtain partial
results in this direction. In particular, we recover in a special case the
non-abelian Hodge correspondence for a nilpotent Higgs field. Our main
conjecture can be formulated as follows (see Conjecture 14.7):

######  Conjecture.

Given an element $[(\mu_{k},t_{k})]\in T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ and
some finite extra data (initial conditions to differential equations), there
is a unique (up to unitary gauge) flat connection
$\mathcal{A}(\lambda)=\lambda\Phi+A+\lambda^{-1}\Phi^{*}$ satisfying

  1. 1.

Locally, $\Phi=\Phi_{1}dz+\Phi_{2}d\bar{z}$ with $\Phi_{1}$ principal
nilpotent and $\Phi_{2}=\mu_{2}\Phi_{1}+...+\mu_{n}\Phi_{1}^{n-1}$

  2. 2.

$-\mathcal{A}(-1/\bar{\lambda})^{*}=\mathcal{A}(\lambda)$ (reality condition)

  3. 3.

$t_{k}=\operatorname{tr}\Phi_{1}^{k-1}A_{1}$.

In addition, if $t_{k}=0$ for all $k$ then the monodromy of
$\mathcal{A}(\lambda)$ is in $\operatorname{PSL}_{n}(\mathbb{R})$.

Admitting this conjecture, we deduce (see Theorem 14.9):

######  Corollary.

Admitting the previous conjecture, there is a canonical diffeomorphism between
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ and Hitchin’s component $\mathcal{T}^{n}$.

In part III of the manuscript, we generalize part I to other complex simple
Lie groups $G$. We define a generalization of the punctual Hilbert scheme,
associated to a simple Lie algebra $\mathfrak{g}$. With its zero-fiber we
construct a geometric structure, called $\mathfrak{g}$-complex structure,
generalizing both complex and $n$-complex structures (which are special cases
with $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{n}$).

In section 15 we define the $\mathfrak{g}$-Hilbert scheme, denoted by
$\operatorname{Hilb}(\mathfrak{g})$, as a subspace of the commuting variety
$\\{(A,B)\in\mathfrak{g}^{2}\mid[A,B]=0\\}/G$. The zero-fiber consists of
commuting nilpotent elements. A first result is (see Corollary 15.11):

######  Proposition.

The regular zero-fiber
$\operatorname{Hilb}^{reg}_{0}(\mathfrak{g})=\operatorname{Hilb}^{reg}(\mathfrak{g})\cap\operatorname{Hilb}_{0}(\mathfrak{g})$
is an affine variety of dimension $\operatorname{rk}\mathfrak{g}$.

We study the case of a classical Lie algebra in detail. Note that for the
moment $\operatorname{Hilb}(\mathfrak{g})$ is a topological space which is not
Hausdorff. We conjecture that there exists a modified version of
$\operatorname{Hilb}(\mathfrak{g})$ which gives a Hausdorff space.

By means of $\operatorname{Hilb}_{0}(\mathfrak{g})$, we construct in 16 the
$\mathfrak{g}$-complex structure. It can be seen as a special
$\mathfrak{g}$-valued 1-form on $\Sigma$. We prove that a
$\mathfrak{g}$-complex structure induces a complex structure on the surface.
Furthermore, we parameterize a $\mathfrak{g}$-complex structure by higher
Beltrami differentials.

For a classical Lie algebra $\mathfrak{g}$, we introduce higher
diffeomorphisms of type $\mathfrak{g}$ which act on $\mathfrak{g}$-complex
structures. The local theory is determined in Theorem 17.3:

######  Theorem.

For $\mathfrak{g}$ of type $A_{n}$, $B_{n}$ or $C_{n}$, the
$\mathfrak{g}$-complex structure can be locally trivialized, i.e. there is a
higher diffeomorphism of type $\mathfrak{g}$ which sends all higher Beltrami
differentials to 0 for all small $z\in\mathbb{C}$.

For $\mathfrak{g}$ of type $D_{n}$, all $\mathfrak{g}$-complex structures with
non-vanishing $\sigma_{n}$ are locally equivalent under higher
diffeomorphisms. However, the zero locus of $\sigma_{n}$ is an invariant.

The moduli space $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$ of the
$\mathfrak{g}$-complex structure admits the following properties (see Theorem
17.5 and Proposition 17.6):

######  Theorem.

For $\mathfrak{g}$ of type $A_{n},B_{n}$ or $C_{n}$, and a surface $\Sigma$ of
genus $g\geq 2$, the moduli space $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$ is
a contractible manifold of complex dimension $(g-1)\dim\mathfrak{g}$. In
addition, its cotangent space at any point $I$ is given by

$T^{*}_{I}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}=\bigoplus_{m=1}^{r}H^{0}(K^{m_{i}+1})$

where $(m_{1},...,m_{r})$ are the exponents of $\mathfrak{g}$ and
$r=\operatorname{rk}\mathfrak{g}$ denotes the rank of $\mathfrak{g}$. In
addition, the principal map $\mathfrak{sl}_{2}\rightarrow\mathfrak{g}$ induces
an inclusion of Teichmüller space into
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$.

For type $D_{n}$, the moduli space $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$
is a contractible topological space. The locus where the zero-set of the
higher Beltrami differential $\sigma_{n}$ is a discrete set on $\Sigma$ is a
smooth manifold with the same properties as above (dimension, cotangent space
and copy of Teichmüller space).

Like for the $n$-complex structure, we can associate to a point in
$T^{*}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}_{\mathfrak{g}}$ a spectral curve
$\bm{\tilde{}}{\Sigma}\subset T^{*\mathbb{C}}\Sigma$ which is Lagrangian.

In the last part IV, we expose questions and conjectures which remain open for
the moment and we discuss connections between higher complex structures and
other topics in higher Teichmüller theory, as for example spectral networks,
opers, W-geometry, cluster varieties and SYZ-mirror symmetry.

We include an appendix A on regular elements in semisimple Lie algebras. This
material is only needed for part III.

The subsections marked with an asterisk are not essential for the global
understanding and can be skipped in a first reading.

##  Part I Higher complex structures and punctual Hilbert schemes

The problem of creating something which is new, but which is consistent

with everything which has been seen before, is one of extreme difficulty.

Richard Feynman, Lectures II, page 20-10

In this first part, we construct a new geometric structure on a smooth surface
generalizing the complex structure. To define this so-called higher complex
structure we use the punctual Hilbert scheme of the plane. The moduli space of
higher complex structures, a generalization of the classical Teichmüller
space, is shown to have several properties in common with Hitchin’s component.

First, we review the complex structure on surfaces through the Beltrami
differential. Then we introduce the main tool for the new geometric structure:
the punctual Hilbert scheme of the plane. It admits several equivalent
definitions: as space of ideals, as resolution of the configuration space and
as space of pairs of commuting matrices.

Using the punctual Hilbert scheme, we define the higher complex structure. To
define an equivalence relation on them, we introduce the notion of higher
diffeomophisms which are special hamiltonian diffeomorphisms of the cotangent
space $T^{*}\Sigma$. We show that the local theory of higher complex
structures is trivial, i.e. that locally any two higher complex structures are
equivalent under higher diffeomorphisms.

We then define the moduli space of higher complex structures and show several
theorems which indicate its similarity to Hitchin’s component. In particular,
it is a contractible manifold of the same dimension as Hitchin’s component and
admits a copy of Teichmüller space inside. Our moduli space has a natural
complex structure, a proper discontinuous action of the mapping class group
and we can describe its cotangent space.

We deepen the study of the punctual Hilbert scheme, especially its symplectic
and hyperkähler structure. With this analysis, we describe the total cotangent
bundle to our moduli space of higher complex structures and we construct a
spectral curve.

Finally, we discuss a conjugated higher complex structure and an action of
$\operatorname{GL}_{2}(\mathbb{R})$ on the cotangent bundle to our moduli
space, generalizing the action on half-translation surfaces.

Some aspects from the construction of the higher complex structure were
already done in my Master thesis. Since they form the starting point for the
whole PhD thesis, we include them here. Most of the material in this part was
published in [FT19]. The Beltrami approach to Teichmüller space and the
punctual Hilbert scheme are not new. Still, the parametrization of
$\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ by coordinates
$(t_{k},\mu_{k})_{1\leq k\leq n}$ has never been carried out to that extent.

###  3 Complex structures on surfaces

In this section we review the approach to complex and almost complex
structures on a surface via the Beltrami differential. This will prepare us
for the generalization to higher complex structures which will follow in
section 5.

Recall that a complex structure on a manifold is a complex atlas with
holomorphic transition functions. Retaining only the information that every
tangent space $T_{z}\Sigma$ has the structure of a complex vector space, i.e.
is equipped with an endomorphism $J(z)$ whose square is $-\operatorname{id}$,
we obtain an almost complex structure. A theorem due to Gauss and Korn-
Lichtenstein states that every almost complex structure on a surface comes
from a complex structure (i.e. can be integrated to a complex structure).
Thus, both notions are equivalent on a surface.

So the complex structure is encoded in the operators $J(z)$. These can be
better understood by diagonalization. The characteristic polynomial of $J(z)$
being $X^{2}+1$, the eigenvalues are $\pm i$. So we need to complexify the
tangent space to see the eigendirections:

$T^{\mathbb{C}}\Sigma=T^{1,0}\Sigma\oplus T^{0,1}\Sigma$

where $T^{1,0}\Sigma$ is the eigenspace associated to eigenvalue $i$.
Furthermore, the eigendirections are conjugated to each other:
$T^{1,0}\Sigma=\overline{T^{0,1}\Sigma}$.

Therefore the complex structure is entirely encoded by $T^{0,1}\Sigma$, i.e. a
direction in the complexified tangent space. Thus, we can see a complex
structure as a section of the projectivized tangent bundle
$\mathbb{P}(T^{\mathbb{C}}\Sigma)$.

Let us describe this viewpoint in coordinates. To do this, we fix a reference
complex coordinate $z=x+iy$ on $\Sigma$. This gives a basis
$(\partial,\bar{\partial})$ in $T^{\mathbb{C}}\Sigma$ where
$\partial=\frac{1}{2}(\partial_{x}-i\partial_{y})\text{ and
}\bar{\partial}=\frac{1}{2}(\partial_{x}+i\partial_{y})$. The generator of the
linear subspace $T^{0,1}_{z}\Sigma$ can be normalized to be
$\bar{\partial}-\mu(z,\bar{z})\partial$, (where $\mu$ is a coordinate on
$\mathbb{C}P^{1}$, and thus can take infinite value). The coefficient $\mu$ is
called the Beltrami differential. There is one condition on $\mu$, coming from
the fact that the vector $\bar{\partial}-\mu\partial$ and its conjugate
$\partial-\bar{\mu}\bar{\partial}$ have to be linearly independent since they
are eigenvectors of $J(z)$ corresponding to different eigenvalues. A simple
computation shows that the condition is equivalent to $\mu\bar{\mu}\neq 1$. If
we restrict ourselves to complex structures compatible with the orientation of
the surface (i.e. homotopy equivalent to the reference complex structure given
by $\mu=0$). This means that $\mu\bar{\mu}<1$.

We have only seen the Beltrami differential in a local chart. Changing
coordinates $z\mapsto w(z)$ gives
$\mu(z,\bar{z})\mapsto\frac{d\bar{z}/d\bar{w}}{dz/dw}\mu(z,\bar{z})$, so $\mu$
is of type $(-1,1)$, i.e. a section of $K^{-1}\otimes\bar{K}$ where
$K=T^{*(1,0)}\Sigma$ the canonical line bundle.

To sum up, we look at a complex structure on a surface as a given linear
direction in every complexified tangent space, which is the same as a 1-jet of
a curve at the origin. For the generalization, we need to consider rather the
cotangent space $T^{*}\Sigma$ (the operators $J(z)$ also act in
$T^{*}_{z}\Sigma$). Higher complex structures will be given by an $n$-jet of a
curve in the complexified cotangent space. To describe this idea precisely in
geometric terms, we use the punctual Hilbert scheme of the plane.

###  4 Punctual Hilbert scheme of the plane

We present here the tool necessary for the higher complex structure: the
punctual Hilbert scheme of the plane. The Hilbert scheme is the parameter
space of all subschemes of an algebraic variety. In general this scheme can be
quite complicated but here we are in a very specific case of zero-dimensional
subschemes of $\mathbb{C}^{2}$. Nothing new is presented here, a classical
reference is Nakajima’s book [Na99]. Details can also be found in Haiman’s
paper [Ha98].

####  4.1 Definition

Consider $n$ points in the plane $\mathbb{C}^{2}$ as an algebraic variety,
i.e. defined by some ideal $I$ in $\mathbb{C}[x,y]$. The function space
$\mathbb{C}[x,y]/I$ is $n$-dimensional, since a function on $n$ points is
defined by its $n$ values. So the ideal $I$ is of codimension $n$. This gives
a simple example of a subscheme of dimension zero. We define the length of a
zero-dimensional subscheme to be the dimension of its function space. So the
variety of $n$ distinct points is of length $n$. We will see that we get more
interesting examples when two or several points collapse into one single
point. The moduli space of zero-dimensional subschemes of length $n$ is called
the punctual Hilbert scheme:

######  Definition 4.1.

The punctual Hilbert scheme $\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ of
length $n$ of the plane is the set of ideals of $\mathbb{C}\left[x,y\right]$
of codimension $n$:

$\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})=\\{I\text{ ideal of
}\mathbb{C}\left[x,y\right]\mid\dim(\mathbb{C}\left[x,y\right]/I)=n\\}.$

The subspace of $\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ consisting of all
ideals supported at 0, i.e. whose associated algebraic variety is $(0,0)$, is
called the zero-fiber of the punctual Hilbert scheme and is denoted by
$\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(\mathbb{C}^{2})$.

######  Remark.

In the literature the punctual Hilbert scheme of a space $X$ is often denoted
by $X^{[n]}$. In this thesis we will deal with several notions of Hilbert
schemes, so we prefer the notation $\operatorname{Hilb}^{n}(X)$. $\triangle$

Let us try to get a feeling of the form of a generic ideal in the Hilbert
scheme. Given $n$ generic distinct points $P_{1},...,P_{n}$ in
$\mathbb{C}^{2}$, we consider the ideal $I$ whose algebraic variety is given
by these points. There is a unique polynomial $Q$ of degree $n-1$ whose graph
passes through all points $P_{i}$, the Lagrange interpolation polynomial (see
figure 4.1).

Figure 4.1: Example of two generators

So we can choose $y=Q(x)$ to be in $I$. If we denote by $x_{i}$ the
$x$-coordinate of the $i$-th point, we see that $\prod_{i}(x-x_{i})$ is also
in $I$. These two relations already determine the $n$ points. The ideal $I$
then has two generators and can be put into the form

$I=\left\langle x^{n}-t_{1}x^{n-1}-\cdots-
t_{n},-y+\mu_{1}+\mu_{2}x+...+\mu_{n}x^{n-1}\right\rangle.$

A point in the zero-fiber of the Hilbert scheme is obtained by collapsing all
$n$ points to the origin. In [Ia72], it is shown that a generic point is
obtained when the Lagrange interpolation polynomial $Q$ admits a limit (for
example if all points glide along a given curve to the origin like in figure
4.2 on the right). At the limit the constant term of $Q$, which is $\mu_{1}$,
has to be zero. Since all $x_{i}$ become 0, all $t_{i}$ do as well. So we get
an ideal of $\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(\mathbb{C}^{2})$ of the form

$I=\left\langle x^{n},-y+\mu_{2}x+...+\mu_{n}x^{n-1}\right\rangle.$

There are other points in the zero-fiber if $n>2$. For instance in
$\operatorname{Hilb}^{3}_{0}(\mathbb{C}^{2})$ we find the ideal $\left\langle
x^{2},xy,y^{2}\right\rangle$ which is not of the above form (it has three
generators).

Notice that for $n=2$, the zero-fiber gives the projective line:

$\operatorname{Hilb}^{2}_{0}(\mathbb{C}^{2})\cong\mathbb{C}P^{1}.$

Roughly speaking, you can have the following picture in mind (see figure 4.2):
moving around in the Hilbert scheme is the same as analyzing the movement of
$n$ points in the plane. But whenever $k$ of them collide to a single point,
the punctual Hilbert scheme retains an extra piece of information, which is
the $(k-1)$-jet of the curve along which the $k$ points entered into
collision. For $k=2$, one can imagine one point fixed and the second hitting
it. The Hilbert scheme retains the direction from which this second point
came.

Figure 4.2: Hilbert scheme as moving particles

####  4.2 Structure

We have the following theorem, due to Fogarty and Grothendieck (see [Fo68],
see also theorem 1.15 in Nakajima’s book [Na99]), giving the structure of the
punctual Hilbert scheme:

######  Theorem 4.2.

The punctual Hilbert scheme $\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ is a
smooth and irreducible variety of dimension $2n$. A generic point is given by
an ideal defining $n$ distinct points in the plane.

The zero-fiber $\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(\mathbb{C}^{2})$ is an irreducible
variety of dimension $n-1$, but it is in general not smooth. A generic element
of the zero-fiber is of the form

$I=\left\langle x^{n},-y+\mu_{2}x+...+\mu_{n}x^{n-1}\right\rangle.$

To get a better understanding about the structure of the punctual Hilbert
scheme, we shortly describe how to get a set of charts. All the details are in
Haiman’s paper [Ha98]. An atlas of $\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$
can be given in terms of Young diagrams. A Young diagram $D$ is a finite
subset of $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ such that whenever $(i,j)\in D$ then
the rectangle defined by $(i,j)$ and $(0,0)$ is entirely in $D$. We use
matrix-like notation such that $(0,0)$ is in the upper left corner. These
diagrams play an important role for visualizing partitions. The set of all
Young diagrams with $n$ squares is in bijection with the partitions of $n$.
Indeed, given a Young diagram, you can read off the partition by adding the
rows.

Now, to any Young diagram $D$, we can associate

$\mathcal{B}_{D}=\\{x^{i}y^{j}\mid(i,j)\in D\\}$

a subset of the standard basis of the polynomial ring
$\mathbb{C}\left[x,y\right]$. We then set

$U_{D}=\\{I\in\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})\mid\mathcal{B}_{D}\text{
spans }\mathbb{C}\left[x,y\right]/I\\}.$

These $U_{D}$ are open affine subvarieties covering $\operatorname{Hilb}^{n}$.

Given an ideal $I\in\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$, there is a
simple algorithm to get a chart which covers $I$ (see also figure 4.3): Since
$1\notin I$, we can take 1 as the first basis vector of
$\mathbb{C}\left[x,y\right]/I$. Then, you run through
$\left[0,n\right]\times\left[0,n\right]$ by columns, starting at $(0,0)$.
Every time the vector $x^{i}y^{j}$ is linearly independent from those visited
before, select it as an element for our basis. If it is not, then you get a
relation and you can jump to the next column. The set of all relations is a
generating set for $I$. See subsection 6.1 for a description of coordinates
due to Haiman.

$\star$$\star$$\star$$\star$$\star$$1$$x$$x^{2}$$x^{3}$$y$$xy$$y^{2}$$xy^{2}$$y^{3}$
Figure 4.3: Chart for Hilbert scheme

There are several equivalent ways to look on the punctual Hilbert scheme. We
next discuss three of them: a blow-up of the configuration space, the set of
pairs of commuting matrices and a dual viewpoint.

####  4.3 Resolution of singularities*

When we consider the set of $n$ points as an algebraic variety, we do not see
their order. So we see them as a point in the configuration space of (not
necessarily distinct) $n$ points, which is the quotient of
$(\mathbb{C}^{2})^{n}$ by the symmetric group $\mathcal{S}_{n}$. This quotient
space, denoted by $\operatorname{Sym}^{n}(\mathbb{C}^{2})$, is singular since
the action of the symmetric group is not free. There is a map, called the Chow
map, from $\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ to
$\operatorname{Sym}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ which associates to an ideal $I$ its
support (the algebraic variety associated with $I$, i.e. a collection of
points with multiplicities).

######  Theorem 4.3.

The punctual Hilbert scheme is a minimal resolution of the configuration space
. In addition, you can get the punctual Hilbert scheme as a successive blow-up
of the configuration space.

A minimal resolution of a singular algebraic space $X$ is the “smallest”
desingularization, i.e. a smooth space with a surjective map to $X$ satisfying
a universal property. Fogarty proved in [Fo68] that
$\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})$ is smooth and birational to
$\operatorname{Sym}^{n}(\mathbb{C}^{2})$. Haiman in [Ha98] proved the blow-up,
see also the account of Bertin [Be08].

######  Remark.

In order to get a feeling of what happens in a general Lie algebra, notice
that $n$ points of $\mathbb{C}^{2}$ is the same as two points in the Cartan
$\mathfrak{h}$ of $\mathfrak{gl}_{n}$, and that the symmetric group is the
Weyl group $W$ of $\mathfrak{gl}_{n}$. So the configuration space equals
$\mathfrak{h}^{2}/W$ for $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_{n}$. This will be
helpful in part III. $\triangle$

####  4.4 Matrix viewpoint

To an ideal $I$ of codimension $n$, we can associate two matrices: the
multiplication operators $M_{x}$ and $M_{y}$, acting on the quotient
$\mathbb{C}[x,y]/I$ by multiplication by $x$ and $y$ respectively. To be more
precise, we can associate a conjugacy class of the pair: $[(M_{x},M_{y})]$.

The two matrices $M_{x}$ and $M_{y}$ commute and they admit a cyclic vector,
the image of $1\in\mathbb{C}[x,y]$ in the quotient (i.e. 1 under the action of
both $M_{x}$ and $M_{y}$ generate the whole quotient).

######  Proposition 4.4 (Matrix viewpoint).

There is a bijection between the Hilbert scheme and conjugacy classes of
certain commuting matrices:

$\operatorname{Hilb}^{n}(\mathbb{C}^{2})\cong\\{(A,B)\in\mathfrak{gl}_{n}^{2}\mid[A,B]=0,(A,B)\text{
admits a cyclic vector}\\}/GL_{n}.$

The inverse construction goes as follows: to a conjugacy class $[(A,B)]$,
associate the ideal $I=\\{P\in\mathbb{C}[x,y]\mid P(A,B)=0\\}$, which is well-
defined and of codimension $n$ (using the fact that $(A,B)$ admits a cyclic
vector). For more details see [Na99].

Notice that the zero-fiber of the Hilbert scheme corresponds to nilpotent
commuting matrices.

Let us see how our coordinates for generic points $(t_{i},\mu_{i})_{1\leq
i\leq n}$ are linked to the matrix point of view: generically the set
$\mathcal{B}=(1,x,x^{2},...,x^{n-1})$ forms a basis of the quotient
$\mathbb{C}[x,y]/I$. In that generic case, the matrix of $M_{x}$ is a
companion matrix:

$M_{x}=\begin{pmatrix}&&&&t_{n}\\\ 1&&&&t_{n-1}\\\ &1&&&t_{n-2}\\\
&&\ddots&&\vdots\\\ &&&1&t_{1}\end{pmatrix}.$

It is uniquely determined by the equation $x\times
x^{n-1}=x^{n}=\sum_{i=1}^{n}t_{i}x^{n-1}$.

The matrix of $M_{y}$ is now uniquely determined by its first column, i.e. by
$y\times 1=\sum_{i=1}^{n-1}\mu_{i}x^{i-1}$. Indeed, we get the image of the
basis $\mathcal{B}$ using the commutativity: the second column, the image of
$x$, is given by

$xy=x\sum_{i=1}^{n-1}\mu_{i}x^{i-1}=\sum_{i=1}^{n-1}\mu_{i}x^{i}+\mu_{n}\sum_{i=1}^{n}t_{i}x^{n-1}.$

The $k$th column can be computed by
$yx^{k-1}=x^{k-1}\sum_{i=1}^{n-1}\mu_{i}x^{i-1}$ where you have to express
$x^{m}$ for $m\geq n$ in the basis $\mathcal{B}$. The first three columns are:

$M_{y}=\begin{pmatrix}\mu_{1}&\mu_{n}t_{n}&\mu_{n-1}t_{n}&\cdots\\\
\mu_{2}&\mu_{1}+\mu_{n}t_{n-1}&\mu_{n}t_{n}+\mu_{n-1}t_{n-1}&\cdots\\\
\mu_{3}&\mu_{2}+\mu_{n}t_{n-2}&\mu_{1}+\mu_{n}t_{n-1}+\mu_{n-1}t_{n-2}&\cdots\\\
\vdots&\vdots&\vdots&\cdots\\\
\mu_{n}&\mu_{n-1}+\mu_{n}t_{1}&\mu_{n-2}+\mu_{n}t_{2}+\mu_{n-1}t_{1}&\cdots\end{pmatrix}.$
(4.1)

Another way to compute $M_{y}$ is to use the Lagrange interpolation polynomial
$y=Q(x)$:

$M_{y}=M_{Q(x)}=Q(M_{x})=\mu_{1}\operatorname{id}+\mu_{2}M_{x}+...+\mu_{n}M_{x}^{n-1}.$

####  4.5 Dual viewpoint*

In this subsection, we describe a dual viewpoint of the punctual Hilbert
scheme using a pairing on $\mathbb{C}[x,y]$.

We start with the definition of the pairing:

$\left(P,Q\right):=P\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial
y}\right).Q\Big{|}_{x=y=0}$

where the little point means “applied to”.

Computing the pairing in the standard basis $\\{x^{n}y^{m}\mid
n,m\in\mathbb{N}\\}$, we get
$\left(x^{n}y^{m},x^{n^{\prime}}y^{m^{\prime}}\right)=n!m!\delta_{n,n^{\prime}}\delta_{m,m^{\prime}}.$
Thus, we see that the pairing is nothing else than the standard inner product
of $\mathbb{R}\left[x,y\right]$ with weights $n!m!$ for $x^{n}y^{m}$ extended
by $\mathbb{C}$-bilinearity. This shows in particular that $\left(.,.\right)$
is symmetric and non-degenerate.

Once we have a pairing, we can define the orthogonal complement $S^{\perp}$ of
any subset $S$ of $\mathbb{C}\left[x,y\right]$. In the case where $S$ is an
ideal, its orthogonal has special properties:

######  Proposition 4.5.

Let $I$ be an ideal of $\mathbb{C}\left[x,y\right]$. Then $I^{\perp}$ is a
vector space stable under derivation and translation.

###### Proof.

For any subset $S$, it is easy to check that $S^{\perp}$ is a vector space,
using the $\mathbb{C}$-bilinearity of the pairing. For the invariance, notice
the following fundamental identity:

$\left(PQ,R\right)=\left(P,\left(Q,R\right)\right).$ (4.2)

Thus, if $P$ is an element of $I$, $Q$ any polynomial and $R$ in $I^{\perp}$,
we get that $\left(Q,R\right)=Q(\frac{\partial}{\partial
x},\frac{\partial}{\partial y}).R$ also belongs to $I^{\perp}$. Therefore
$I^{\perp}$ is stable under derivation. Finally, since

$P(x+a,y+b)=\exp\left(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial
y}\right).P(x,y)$

we see that $I^{\perp}$ is also invariant under all translations. ∎

######  Remark.

The invariance of $I^{\perp}$ under translation shows that $I^{\perp}$ is a
subcoalgebra of $\mathbb{C}\left[x,y\right]$ in the following sense: If $P\in
I^{\perp}$, we have $\Delta P\in I^{\perp}\otimes I^{\perp}$ where $\Delta
P(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=P(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ is the dual operation
to addition. $\triangle$

Now, we can explicitly describe the orthogonal of the zero-fiber of the
punctual Hilbert scheme, defined by taking the orthogonal to every ideal
$I\in\operatorname{Hilb}^{n}_{0}$:

######  Proposition 4.6.

The orthogonal of $\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(\mathbb{C}^{2})$ is the space
of all vector subspaces of $\mathbb{C}\left[x,y\right]$ of dimension $n$ which
are invariant under translations. The same holds true when you replace
“translation” by “derivation”.

###### Proof.

The orthogonal complement sends vector spaces of codimension $n$ to vector
spaces of dimension at most $n$. In fact, if we work in the ring of formal
power series $\mathbb{C}\left[\left[x,y\right]\right]$ then the orthogonal is
of dimension exactly $n$. But for the zero-fiber
$\operatorname{Hilb}^{n}_{0}$, we cut at level $n$, that is $\left\langle
x,y\right\rangle^{n}=0$. Thus, for
$I\in\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(\mathbb{C}^{2})$, we see that $I^{\perp}$ is
of dimension $n$ and by the previous proposition is invariant under
translations and derivations. Conversely, if $J$ is an $n$-dimensional vector
space invariant under all translations, it is in particular invariant under
all derivations (=infinitesimal translations). Then formula (4.2) shows that
$J^{\perp}$ is an ideal. Finally, since $J$ is finite-dimensional, there is an
integer $m$ such that $\left\langle x,y\right\rangle^{m}\subset J^{\perp}$
showing that $J^{\perp}$ is supported on 0. ∎

Since $\left(.,.\right)$ is an inner product, we can identify the Hilbert
scheme with the space of translation-invariant finite-dimensional subspaces.

The most important example is the dual of $I=\langle
p^{n},-\bar{p}+\mu_{2}p+...+\mu_{n}p^{n-1}\rangle$, ideal of
$\mathbb{C}[p,\bar{p}]$. The dual $I^{\perp}$ by the definition of the pairing
is the space of all polynomials $P$ solving the system of differential
equations

$\left\\{\begin{array}[]{cl}0&=\;\partial^{n}P\\\
0&=\;(-\bar{\partial}+\mu_{2}\partial+...+\mu_{n}\partial^{n-1})P.\end{array}\right.$

###  5 Higher complex structures

In this section, we define the higher complex structure using the punctual
Hilbert scheme and explore its main properties. In order to define a moduli
space of higher complex structures, we need to enlarge the group of
diffeomorphisms of $\Sigma$ to the space of hamiltonian diffeomorphisms of the
cotangent space $T^{*}\Sigma$ preserving the zero section. We then explore the
local and global theory of that new structure.

####  5.1 Definition and basic properties

In section 3, we saw that a complex structure on a surface $\Sigma$ is
uniquely given by a section $\sigma$ of $\mathbb{P}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$,
the (pointwise) projectivized complexified cotangent space, such that at any
point $z\in\Sigma$, $\sigma(z)$ and $\bar{\sigma}(z)$ are linearly
independent. In the previous section, we saw that the projectivization is a
special case of the zero-fiber of the punctual Hilbert scheme for $n=2$:
$\mathbb{P}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)=\operatorname{Hilb}^{2}_{0}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$.
It is now easy to guess the generalization.

######  Definition 5.1.

A higher complex structure of order $n$ on a surface $\Sigma$, in short
$\mathbf{n}$-complex structure, is a section $I$ of
$\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$ such that at each point
$z\in\Sigma$ we have that the sum $I(z)+\overline{I}(z)$ is the maximal ideal
supported at zero of $T_{z}^{*\mathbb{C}}\Sigma$.

######  Remark.

The space $\operatorname{Hilb}^{n}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$ is the pointwise
application of $\operatorname{Hilb}^{n}$ to $T^{*\mathbb{C}}_{z}\Sigma$ at
every point $z$ of $\Sigma$. So it is a bundle of Hilbert schemes. We call it
Hilbert scheme bundle.

For $n=2$, the condition that $I+\overline{I}$ is maximal simply reads
$\mu_{2}\bar{\mu}_{2}\neq 1$ which is exactly the condition on the Beltrami
differential (see section 3). So we recover the complex structure.

In order to write our structure in coordinates, we fix a reference complex
structure on $\Sigma$ given by local coordinates $(z,\bar{z})$. We stress that
the higher complex structure is _independent_ of this choice, only our
coordinates depend on it. The linear coordinates on $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$
induced by $(z,\bar{z})$ are denoted by $(p,\bar{p})$. We can identify
$p=\frac{\partial}{\partial z}$ and
$\bar{p}=\frac{\partial}{\partial\bar{z}}$.

In the previous section, we saw that not all points in the zero-fiber can be
written in the form of a Lagrange interpolation polynomial passing through the
origin. Another important consequence of the extra condition is that it rules
out non-generic ideals:

######  Proposition 5.2.

For an $n$-complex structure $I$, we can write at a point $z$ either
$I(z,\bar{z})$ or its conjugate $\overline{I}(z,\bar{z})$ as

$\left\langle
p^{n},-\bar{p}+\mu_{2}(z,\bar{z})p+...+\mu_{n}(z,\bar{z})p^{n-1}\right\rangle\text{
with }\mu_{2}\bar{\mu}_{2}<1.$

We call the coefficients $\mu_{k}$ higher Beltrami differentials. In the case
where $I$ is of the form given in the proposition, we call the $n$-complex
structure compatible. If $I$ is not compatible, then $\overline{I}$ is. This
is analogous to the case of the Beltrami differential whose norm is either
smaller than 1 or bigger than 1.

###### Proof.

The proposition concerns a cotangent fiber of one point $z$. So we can really
work on $\mathbb{C}^{2}$ with coordinates $(p,\bar{p})$. Let $I_{1}$ be the
set of all degree 1 polynomials which appear as elements of $I$. It is clear
that $I_{1}$ is a vector subspace of $\mathbb{C}^{2}$ since $I$ is a vector
space. We show that $I_{1}$ is of dimension 1.

If $I_{1}=\\{0\\}$, then so is $\overline{I}_{1}=\\{0\\}$. But by
$I\oplus\overline{I}=\left\langle p,\bar{p}\right\rangle$, we get
$I_{1}\oplus\overline{I}_{1}=\mathbb{C}^{2}$ which contradicts the hypothesis
on $I$. If $I_{1}=\mathbb{C}^{2}$ then $I=\left\langle p,\bar{p}\right\rangle$
which contradicts the fact that it is of codimension $n\geq 2$.

Therefore $I_{1}=\operatorname{Span}(ap+b\bar{p})$ is of dimension 1. So
$\overline{I}_{1}=\operatorname{Span}(\bar{a}\bar{p}+\bar{b}p)$ and the
condition $I\oplus\overline{I}=\left\langle p,\bar{p}\right\rangle$ is
equivalent to $a\bar{a}\neq b\bar{b}$. Assume $a\bar{a}<b\bar{b}$ (the other
case being similar and leads to $\overline{I}$ instead of $I$), then
$I_{1}=\operatorname{Span}(-\bar{p}+\mu_{2}p)$ with
$\left|\mu_{2}\right|=\left|a/b\right|<1$.

Finally, since $-\bar{p}+\mu_{2}p\in I_{1}$, there is a relation of the form
$\bar{p}=\mu_{2}p+\text{higher terms}$ in $I$. Iterating this equality by
replacing it in any $\bar{p}$ appearing in the higher terms, we get an
expression of $\bar{p}$ in terms of monomials in $p$. Since $p^{n}=0$ in $I$,
we get

$\bar{p}=\mu_{2}p+\mu_{3}p^{2}+...+\mu_{n}p^{n-1}\mod I.$

To give an example, for $n=4$ and $\bar{p}=ap+bp\bar{p}$ we get

$\bar{p}=ap+bp(ap+b(ap+b\bar{p}))=ap+abp^{2}+ab^{2}p^{3}.$

∎

Let us compute the global nature of the higher Beltrami differentials. We will
see that $\mu_{2}$ is just the usual Beltrami differential, so of type
$(-1,1)$. Under a holomorphic coordinate transform $z\to z(w)$, we have
$p=\frac{\partial}{\partial z}\mapsto\frac{dw}{dz}\frac{\partial}{\partial w}$
and similarly for $\bar{p}$. Hence, the first generator $p^{n}$ of $I$ just
gets a linear factor of $(\frac{dw}{dz})^{n}$, so we can drop it in the ideal.
The transformation of the second generator gives (where $\propto$ stands for
“proportional to”):

$\displaystyle-\bar{p}+\mu_{2}(z,\bar{z})p+...+\mu_{n}(z,\bar{z})p^{n-1}$
$\displaystyle\mapsto-\frac{d\bar{w}}{d\bar{z}}\frac{\partial}{\partial\bar{w}}+\frac{dw}{dz}\mu_{2}(z,\bar{z})\frac{\partial}{\partial
w}+...+\left(\frac{dw}{dz}\right)^{n-1}\mu_{n}(z,\bar{z})\left(\frac{\partial}{\partial
w}\right)^{n-1}$
$\displaystyle\propto-\frac{\partial}{\partial\bar{w}}+\frac{d\bar{z}/d\bar{w}}{dz/dw}\mu_{2}(z,\bar{z})\frac{\partial}{\partial
w}+...+\frac{d\bar{z}/d\bar{w}}{(dz/dw)^{n-1}}\mu_{n}(z,\bar{z})\left(\frac{\partial}{\partial
w}\right)^{n-1}.$

Thus, we see that for $m=2,...,n$ we get

$\mu_{m}(w,\bar{w})=\frac{d\bar{z}/d\bar{w}}{(dz/dw)^{m-1}}\mu_{m}(z,\bar{z}).$

So $\mu_{m}$ is of type $(1-m,1)$, i.e. a section of $K^{1-m}\otimes\bar{K}$.

The various viewpoints of the punctual Hilbert scheme allow several
interpretations of the higher complex structure:

  * $\bullet$

The previous Proposition 5.2 allows to think of a higher complex structure as
a polynomial curve in the cotangent fiber attached to each point of the
surface. Thus we get a “hairy” surface as in figure 5.1 (with polynomial
curved hair).

  * $\bullet$

A section of $\operatorname{Hilb}^{n}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma)$ is generically
an $n$-tuple of 1-forms, or equivalently an $n$-fold cover
$\bm{\tilde{}}{\Sigma}\subset T^{*\mathbb{C}}\Sigma$. Going to the zero-fiber
we can consider the $n$-complex structure as the collapse of this $n$-fold
cover to the zero-section, or as the $(n-1)$-jet of a complex surface along
the zero-section inside $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$.

  * $\bullet$

In the matrix viewpoint of the punctual Hilbert scheme, you can see a higher
complex structure as a conjugation class of a matrix-valued 1-form which can
be locally written as $\Phi_{1}(z)dz+\Phi_{2}(z)d\bar{z}$ where
$[(\Phi_{1}(z),\Phi_{2}(z))]$ is a point in
$\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(T_{z}^{*\mathbb{C}}\Sigma)$ for all $z\in\Sigma$,
i.e. a pair of commuting nilpotent matrices with $\Phi_{1}(z)$ principal
nilpotent. Globally, we have a matrix-valued 1-form $\Phi$ satisfying
$\Phi\wedge\Phi=0$ and its $(1,0)$-component is principal nilpotent.

  * $\bullet$

In the dual viewpoint (see 4.5), we can see the $n$-complex structure as the
space of local functions $f$ on $\Sigma$ satisfying $\partial^{n}f=0$ and
$(-\bar{\partial}+\mu_{2}\partial+...+\mu_{n}\partial^{n-1})f=0$. A complex
structure on a surface is characterized by the notion of local holomorphic
functions $f$. In a chart they are characterized by
$(\bar{\partial}-\mu_{2}\partial)f=0$ where $\mu_{2}$ is the usual Beltrami
differential. The $n$-complex structure generalizes this functional approach.
For $n=\infty$ and $\mu_{k}=0$ for all $k>n$, we get the space of functions
satisfying only the second equation
$(-\bar{\partial}+\mu_{2}\partial+...+\mu_{n}\partial^{n-1})f=0.$

Figure 5.1: Illustration of a higher complex structure

####  5.2 Higher diffeomorphisms

We wish to define a moduli space of higher complex structures which is finite-
dimensional. Higher complex structures “live” in a neighborhood of the zero-
section of $T^{*\mathbb{C}}\Sigma$. A diffeomorphism of $\Sigma$ extends
linearly to $T^{*}\Sigma$ and its complexification. Thus the extension acts
linearly on the polynomial curve (given by the higher complex structure). So
the quotient of all $n$-complex structures by diffeomorphisms of $\Sigma$ is
infinite-dimensional. Therefore, we have to enlarge the equivalence relation
and quotient by a larger group. What we need is polynomial transformations in
the cotangent bundle. These can be obtained by symplectomorphisms of
$T^{*}\Sigma$ generated by a Hamiltonian (a function on $T^{*}\Sigma$):

######  Definition 5.3.

A higher diffeomorphism of a surface $\Sigma$ is a hamiltonian diffeomorphism
of $T^{*}\Sigma$ preserving the zero-section $\Sigma\subset T^{*}\Sigma$
setwise. The group of higher diffeomorphisms is denoted by
$\operatorname{Symp}_{0}(T^{*}\Sigma)$. A higher diffeomorphism is of order
$\mathbf{n}$ if its Hamiltonian $H$ is a polynomial in $p$ and $\bar{p}$ of
degree $n$.

A higher diffeomorphism of order 1 is a usual diffeomorphism of $\Sigma$
linearly extended to the cotangent space. Preserving the zero-section means
that the Hamiltonian $H$ of a higher vector field can be chosen to vanish on
the zero-section. In coordinates, this means that one can write the
Hamiltonian as
$H(z,\bar{z},p,\bar{p})=\sum_{k,l}v_{k,l}(z,\bar{z})p^{k}\bar{p}^{l}$ with
$v_{0,0}=0$. Furthermore, since the Hamiltonian is a real function written in
complex coordinates, we have the condition $v_{l,k}=\overline{v_{k,l}}$.

Let us see how a higher diffeomorphism acts on the $n$-complex structure.
Roughly speaking, a diffeomorphism of the cotangent bundle acts on the space
of sections, and so also on the space of $n$-tuples of sections (corresponds
to $n$ points in each fiber), so also on the zero-fiber of the Hilbert scheme
(which can be seen as the limit when all $n$ points collapse to the origin).
In this way, a higher diffeomorphism acts on an $n$-complex structure.

To be more precise, we need first to understand the variation of an ideal in
the space of all ideals (the proof is direct and left to the reader):

######  Proposition 5.4.

The space of infinitesimal variations of an ideal $I$ in a ring $A$ is the set
of all $A$-module homomorphisms from $I$ to $A/I$.

To compute the variation of an ideal, all we need is to compute the variation
of its generators modulo $I$. These generators are polynomial functions. A
general fact of symplectic geometry asserts that the variation of a function
$f$ under a flow generated by a Hamiltonian $H$ is given by the Poisson
bracket $\\{H,f\\}$. Therefore to compute the action of a higher
diffeomorphism generated by a Hamiltonian $H$, we only have to compute the
Poisson bracket of $H$ with the generators of $I$ and to take the result
modulo $I$ (by Proposition 5.4).

Since we mod out by $I$, a Hamiltonian of order $n$ or higher has no effect on
the $n$-complex structure. The Hamiltonians of degree $\geq n$ generate a
normal subgroup in $\operatorname{Symp}_{0}(T^{*}\Sigma)$. The effective
action is by the quotient group, consisting of higher diffeomorphisms of
degree at most $n-1$.

In the following subsection we compute the variation of the higher Beltrami
differentials under a Hamiltonian and we deduce the local theory of higher
complex structures.

####  5.3 Local theory

In this subsection, we restrict attention to an open neighborhood of the
origin 0 in $\mathbb{C}$. We prove that any two higher complex structures are
locally equivalent under higher diffeomorphisms. Before doing so, we have to
compute the variation of the higher complex structure by a higher
diffeomorphism.

As seen in the previous subsection, we have to compute Poisson brackets modulo
the ideal $I$. A small argument simplifies the computations a lot. We call it
the “simplification lemma”:

######  Lemma 5.5 (Simplification lemma).

Let $I=\left\langle f_{1},...,f_{r}\right\rangle$ be an ideal of
$\mathbb{C}[z,\bar{z},p,\bar{p}]$ such that $\\{f_{i},f_{j}\\}=0\mod I$ for
all $i$ and $j$. Then for all polynomials $H$ and all $k\in\\{1,...,r\\}$ we
have

$\\{H,f_{k}\\}\mod I=\\{H\mod I,f_{k}\\}\mod I.$

###### Proof.

The only thing to show is that if we replace $H$ by $H+gf_{l}$ for some
polynomial $g$ and some $l\in\\{1,...,r\\}$, the expression does not change.
Indeed,
$\\{H+gf_{l},f_{k}\\}=\\{H,f_{k}\\}+g\\{f_{l},f_{k}\\}+\\{g,f_{k}\\}f_{l}=\\{H,f_{k}\\}\mod
I$ using the assumption. ∎

For our ideal $I=\left\langle
p^{n},-\bar{p}+\mu_{2}p+...+\mu_{n}p^{n-1}\right\rangle$, we have
$\\{p^{n},-\bar{p}+\mu_{2}p+...+\mu_{n}p^{n-1}\\}=np^{n-1}(\partial\mu_{2}p+...+\partial\mu_{n}p^{n-1})=0\mod
I$, so we can use the lemma. Therefore, we can reduce a Hamiltonian $H$ modulo
$I$. So it can always be written as $H=\sum_{k}v_{k}p^{k-1}$.

Another small argument is that the first generator, $p^{n}$, does not change :
$\\{H,p^{n}\\}\mod I=np^{n-1}\partial H\mod I=0$ since there is no constant
term in $H$. So we only have to settle the second generator.

Let us compute the variation of the second generator under the Hamiltonian
$H=v_{k}p^{k-1}$. We get:

$\displaystyle\\{v_{k}p^{k-1},-\bar{p}+\textstyle\sum_{i}\mu_{i}p^{i-1}\\}=$
$\displaystyle\;(k-1)v_{k}p^{k-2}(\partial\mu_{2}p+...+\partial\mu_{n}p^{n-1})+p^{k-1}\bar{\partial}v_{k}$
$\displaystyle-p^{k-1}(\mu_{2}+2\mu_{3}p+...+(n-1)\mu_{n}p^{n-2})\partial
v_{k}$ $\displaystyle=$
$\displaystyle\;p^{k-1}(\bar{\partial}v_{k}-\mu_{2}\partial
v_{k}+(k-1)v_{k}\partial\mu_{2})$
$\displaystyle+\sum_{l=1}^{n-1-k}p^{k-1+l}((k-1)v_{k}\partial\mu_{l+2}-(l+1)\mu_{l+2}\partial
v_{k})\mod I.$

Thus we obtain:

######  Proposition 5.6 (Variation of higher Beltrami differentials).

The variation $\delta\mu_{l}$ under a Hamiltonian $H=v_{k}p^{k-1}$ is given by

$\delta\mu_{l}=\left\\{\begin{array}[]{cl}(\bar{\partial}-\mu_{2}\partial+(k-1)\partial\mu_{2})v_{k}&\text{
if }l=k\\\ ((k-1)\partial\mu_{l-k+1}-(l-k)\mu_{l-k+1}\partial)v_{k}&\text{ if
}l>k\\\ 0&\text{ if }l<k.\end{array}\right.$

Now, we are ready to state the local triviality of higher complex structures:

######  Theorem 5.7 (Local theory).

Any two higher complex structures are locally equivalent under higher
diffeomorphisms. Using our coordinates this is equivalent to: any $n$-complex
structure can be locally trivialized, i.e. there is a higher diffeomorphism
which sends the structure to
$(\mu_{2}(z,\bar{z}),...,\mu_{n}(z,\bar{z}))=(0,...,0)$ for all small
$z\in\mathbb{C}$.

The proof is in the spirit of the classical proof of Darboux theorem on local
theory of symplectic structures.

###### Proof.

The proof is by induction. For $n=2$, we already know the result which is
Gauss and Korn-Lichtenstein’s theorem on the existence of isothermal
coordinates. So suppose that the statement is true for $n\geq 2$ and we show
it for $n+1$.

By induction hypothesis, there is a higher diffeomorphism which makes
$\mu_{2}(z)=...=\mu_{n}(z)=0$ for all $z$ near the origin. We construct a
higher diffeomorphism generated by a Hamiltonian of degree $n$ giving
$\mu_{n+1}(z)=0$ for all $z$ near 0. Since a Hamiltonian of degree $n$ does
not affect the $\mu_{k}$ with $k\leq n$ (see previous proposition), we are
done.

Let us try a Hamiltonian of the form

$H(z,\bar{z},p,\bar{p})=v_{n}(z,\bar{z},p,\bar{p})p^{n}$

generating a flow $\phi_{t}$. We denote by $\mu_{n+1}^{t}(z,\bar{z})$ the
image of $\mu_{n+1}(z,\bar{z})$ by $\phi_{t}$ (note that $\phi_{t}$ fixes the
zero-section pointwise). The variation formula 5.6 for $\mu_{2}=0$ then reads

$\frac{d}{dt}\mu_{n+1}^{t}(z,\bar{z})=\bar{\partial}v_{n}(z,\bar{z},0,0)$

Thus, the variation does not depend on time. We wish to have
$\frac{d}{dt}\mu_{n+1}^{t}(z,\bar{z})=-\mu_{n+1}^{t=0}(z,\bar{z}).$ So we have
to solve

$\bar{\partial}v_{n}(z,\bar{z},0,0)=-\mu_{n+1}^{0}(z,\bar{z}).$

The inversion of the Cauchy-Riemann operator $\bar{\partial}$ is well-known.
We denote its inverse by $T$. Explicitly, we have

$Tf(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{C}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\wedge
d\bar{\zeta}$

for any square-integrable function $f$.

Therefore, on the zero-section we set
$v_{n}(z,\bar{z},0,0)=-T\mu_{n+1}^{0}(z,\bar{z})$ (since $\mu_{n+1}$ is
smooth, it is locally square-integrable). To define it everywhere, we choose a
bump function $\beta$, in our case a function on $\mathbb{C}^{2}$ which is 1
in a neighborhood of the origin and 0 outside a bigger neighborhood of the
origin, and we put

$v_{n}(z,\bar{z},p,\bar{p})=-\beta(p,\bar{p})T\mu_{n+1}^{0}(z,\bar{z}).$

So the Hamiltonian is defined everywhere and gives a compactly supported
vector field which therefore can be integrated for all times. We then get

$\mu_{n+1}^{t}(z,\bar{z})=(1-t)\mu_{n+1}^{0}(z,\bar{z})$

Therefore, at time $t=1$, $\mu_{n+1}$ vanishes everywhere. ∎

So as for symplectic structures, there is no local invariant for higher
complex structures. The only interesting properties can appear in the global
theory.

####  5.4 Moduli space

We are finally ready to define and study the moduli space of higher complex
structures. We then show that it is a contractible ball of dimension
$(n^{2}-1)(g-1)$ and describe its tangent and cotangent space.

######  Definition 5.8.

The moduli space of higher complex structures, denoted by
$\mathbf{\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}}$, is the space of all compatible
$n$-complex structures modulo higher diffeomorphisms. In formula:

$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}=\Gamma(\operatorname{Hilb}^{n}_{0}(T^{*\mathbb{C}}\Sigma))/\operatorname{Symp}_{0}(T^{*}\Sigma).$

Recall that an $n$-complex structure is compatible if the Beltrami
differential satisfies $\mu_{2}\bar{\mu}_{2}<1$. Using complex conjugation we
get another copy of our moduli space for which $\mu_{2}\bar{\mu}_{2}>1$.

Since a higher diffeomorphism of order 1 is a usual diffeomorphism and only
Hamiltonians of order at most $n-1$ act non-trivially on $n$-complex
structures, we recover for $n=2$ the usual Teichmüller space:

$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{2}=\mathcal{T}(\Sigma).$

The moduli space $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ has the following properties:

######  Theorem 5.9 (Global theory).

For a surface $\Sigma$ of genus $g\geq 2$ the moduli space
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ is a contractible manifold of complex dimension
$(n^{2}-1)(g-1)$. Its cotangent space at any point $\mu=(\mu_{2},...,\mu_{n})$
is given by

$T^{*}_{\mu}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}=\bigoplus_{m=2}^{n}H^{0}(K^{m}).$

In addition, there is a forgetful map
$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}\rightarrow\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n-1}$.

We essentially show the existence of a cotangent space at every point, so we
have a manifold. The dimension of the cotangent space is computed by Riemann-
Roch formula. We do not enter into details on issues about infinite-
dimensional manifolds and quotients.

###### Proof.

To see that $\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}$ is a manifold, we examine the
infinitesimal variation around any point. This will also give a description of
the tangent and cotangent space. By definition, we have

$\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}=\\{(\mu_{2},...,\mu_{n})\mid\mu_{m}\in\Gamma(K^{1-m}\otimes\bar{K})\;\forall\,m\text{
and }\left|\mu_{2}\right|<1\\}/\operatorname{Symp}_{0}(T^{*}\Sigma)$

The infinitesimal variation around $\mu=(\mu_{2},...,\mu_{n})$ is then given
by

$T_{\mu}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}=\\{(\delta\mu_{2},...,\delta\mu_{n})\mid\delta\mu_{m}\in\Gamma(K^{1-m}\otimes\bar{K})\;\forall\,m\\}/\operatorname{Lie}(\operatorname{Symp}_{0}(T^{*}\Sigma)).$

In the previous subsection, we have seen that every $n$-complex structure is
locally trivializable. So there is an atlas in which
$\mu=(\mu_{2},...,\mu_{n})=0$. The Lie algebra of
$\operatorname{Symp}_{0}(T^{*}\Sigma)$ is given by Hamiltonians (functions on
$T^{*}\Sigma$). We can decompose the Hamiltonian into homogeneous parts of
degrees 1 to $n-1$. All higher terms do not affect the $n$-complex structure.
With the simplification lemma 5.5 we can reduce $H$ to
$\sum_{k=2}^{n}v_{k}p^{k-1}$. By Proposition 5.6 (with $\mu_{k}=0$ for all
$k$), we get

$T_{\mu}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}=\\{(\delta\mu_{2},...,\delta\mu_{n})\\}/(\bar{\partial}v_{2},...,\bar{\partial}v_{n})$

where $v_{m}$ is a section of $K^{m-1}$. Thus, the tangent space splits into
parts:

$T_{\mu}\bm{\hat{}}{\mathcal{T}}^{n}=\\{\delta\mu_{2}\in\Gamma(\bar{K}\otimes
K^{-1})\\}/\bar{\partial}v_{2}\oplus...\oplus\\{\delta\mu_{n}\in\Gamma(K^{-n+1}\otimes\bar{K})\\}/\bar{\partial}v_{n}.$

To compute the cotangent space, we use the pairing between differentials of