56.40125pt\raise-41.27774pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise
0.0pt\hbox{$\textstyle{{\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))_{0}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\kern
202.29263pt\raise-5.5pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern
102.99026pt\raise-70.45995pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern
214.55728pt\raise-41.27774pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise
0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern-3.0pt\raise-82.87328pt\hbox{\hbox{\kern
0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise
0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern
55.59976pt\raise-82.87328pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise
0.0pt\hbox{$\textstyle{{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))^{G}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern
193.35326pt\raise-82.87328pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern
193.35326pt\raise-82.87328pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise
0.0pt\hbox{$\textstyle{{\mathrm{H}}^{1}(G,\Lambda_{X})}$}}}}}}}{\hbox{\kern-31.59976pt\raise-123.82994pt\hbox{\hbox{\kern
0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise
0.0pt\hbox{$\textstyle{\textnormal{Alb}(X)(\mathbb{R})_{\textnormal{tors}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern
43.49297pt\raise-99.06755pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern
0.0pt\raise-1.28406pt\hbox{$\scriptstyle{\sim}$}}}\kern
3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern
89.1597pt\raise-88.37328pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern
181.1196pt\raise-123.82994pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern
99.99026pt\raise-123.82994pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise
0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern
181.1196pt\raise-123.82994pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise
0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise
0.0pt\hbox{$\textstyle{\pi_{0}\left(\textnormal{Alb}(X)(\mathbb{R})\right).\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\hbox{\kern-1.0pt\raise
0.0pt\hbox{\lx@xy@droprule}}\hbox{\kern 1.0pt\raise
0.0pt\hbox{\lx<EMAIL_ADDRESS>0.0pt\hbox{\lx@xy@droprule}}\hbox{\kern 1.0pt\raise
0.0pt\hbox{\lx<EMAIL_ADDRESS>0.0pt\hbox{\lx@xy@droprule}}\hbox{\kern 1.0pt\raise
0.0pt\hbox{\lx@xy@droprule}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces\end{split}$ (35)

Let us define the groups and arrows occurring in this diagram, prove that each
arrow is surjective, and that each quadrilateral and triangle commutes.
Observe that this is indeed enough to prove the lemma.

Let us start with the diagram on the bottom of (35). The exact sequence of
(sheaves of) $G$-modules

$\displaystyle 0\to\mathbb{Z}(d)\to\mathbb{Q}(d)\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d)\to
0$ (36)

induces an exact sequence of $G$-modules

$0\to\Lambda_{X}\to{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}(d))\to{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))\to
0.$

This gives a canonical isomorphism
$\textnormal{Alb}(X)(\mathbb{C})_{\textnormal{tors}}\cong{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))$,
and the boundary map

$\textnormal{Alb}(X)(\mathbb{R})_{\textnormal{tors}}\cong{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))^{G}\to{\mathrm{H}}^{1}(G,\Lambda_{X})$

is surjective because ${\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}(d))$ has
no higher group cohomology. Thus the diagram on the bottom of (35) exists,
commutes and its arrows are surjective.

Let us continue with the diagram on the left of (35). A canonical isomorphism
between $\textnormal{CH}_{0}(X_{\mathbb{C}})_{\textnormal{tors}}$ and
${\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))$ is constructed
in [CT93]. This map is $G$-equivariant, thus induces an isomorphism

$\textnormal{CH}_{0}(X_{\mathbb{C}})_{\textnormal{tors}}^{G}\cong{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))^{G}.$

As shown by Van Hamel [Ham00], the composition of the latter with the natural
map
$\textnormal{CH}_{0}(X)_{\textnormal{tors}}\to\textnormal{CH}_{0}(X_{\mathbb{C}})_{\textnormal{tors}}^{G}$
factors through a composition of morphisms

$\displaystyle\textnormal{CH}_{0}(X)_{\textnormal{tors}}\to{\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))\to{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))^{G}.$
(37)

On the other hand, the composition

$\textnormal{CH}_{0}(X)_{\textnormal{tors}}\to{\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))\xrightarrow{\delta}{\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))$

coincides with the cycle class map by [CTSS83, Corollaire 1], where the map
$\delta$ is the boundary map induced by the exact sequence (36). Therefore,
the triangle on the top of (35) commutes, where we define
${\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))_{0}$ to be
the inverse image of ${\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))_{0}$
under this boundary map $\delta$. Note that the image of $\delta$ lies indeed
in $F^{1}{\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))$, because the
composition of $\delta$ with the map
${\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))\to{\mathrm{H}}^{2d}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))$
factors through the following composition, which is zero:

$\displaystyle{\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))\to{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))\to{\mathrm{H}}^{2d}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))=\mathbb{Z}.$

We claim that the thus-obtained map

${\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))_{0}\to
F^{1}{\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))_{0}$

is surjective. Indeed, this follows since
${\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))\to
F^{1}{\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))$ is surjective, which
is in turn a consequence of the commutativity of the diagram

$\textstyle{{\mathrm{H}}^{2d}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))^{G}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{{\mathrm{H}}^{2d}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}(d))^{G}}$$\textstyle{{\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\delta}$$\textstyle{{\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{{\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}(d)),\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\wr}$$\textstyle{F^{1}{\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$

and the fact that its middle row and column are exact.

The image of the first arrow in (37) equals
${\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))_{0}$ because
of the following diagram with exact rows, see [Ham00, Theorem 3.2], [BW20a,
Proposition 1.8]:

The Abel-Jacobi map AJ on the left of (35) is surjective by [Ham00, Corollary
4.5] and our assumption that the Hochschild-Serre spectral sequence (5)
degenerates. Moreover, the fact that the quadrilateral on the left of (35)
commutes follows from the commutativity of

$\textstyle{\textnormal{CH}_{0}(X_{\mathbb{C}})_{\textnormal{tors}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\sim}$$\textstyle{\textnormal{Alb}(X)(\mathbb{C})_{\textnormal{tors}}}$

which is [Blo79, Proposition 3.9].

To finish the proof, it remains to show that the quadrilateral on the top
right of (35) commutes. This follows from the fact that the morphism

${\mathrm{H}}\coloneqq{\mathrm{H}}^{2d-1}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d))\to{\mathrm{H}}^{2d}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))\eqqcolon\tilde{{\mathrm{H}}}$

shifts the filtrations induced by the Hochschild-Serre spectral sequences by
one degree, thereby inducing a commutative diagram

$\textstyle{0\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{F^{1}{\mathrm{H}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{F^{0}{\mathrm{H}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{{\mathrm{H}}^{0}(G,{\mathrm{H}}^{2d}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d)))\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{0}$$\textstyle{0\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{F^{2}\tilde{{\mathrm{H}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{F^{1}\tilde{{\mathrm{H}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{2d-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d)))\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{0.}$

∎

######  Lemma 8.30.

Let $f\colon J\to A$ be a surjective homomorphism of real abelian varieties.

  1. 1.

The induced homomorphism $f_{\mathbb{R}}^{0}\colon J(\mathbb{R})^{0}\to
A(\mathbb{R})^{0}$ is surjective.

  2. 2.

Let $B=\textnormal{Ker}(f)$ and assume that $B$ is an abelian variety
(equivalently: that $B(\mathbb{C})$ is connected). The induced homomorphism
$J(\mathbb{R})^{0}_{\textnormal{tors}}\to
A(\mathbb{R})^{0}_{\textnormal{tors}}$ is also surjective.

###### Proof.

  1. 1.

The diagram

$\textstyle{J(\mathbb{C})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{f}$$\scriptstyle{{\mathrm{Nm}}}$$\textstyle{J(\mathbb{R})^{0}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{f_{\mathbb{R}}^{0}}$$\textstyle{A(\mathbb{C})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{{\mathrm{Nm}}}$$\textstyle{A(\mathbb{R})^{0}}$

commutes, where ${\mathrm{Nm}}\colon X(\mathbb{C})\to
X(\mathbb{R})^{0},x\mapsto x+\sigma(x)$ denotes the norm homomorphism of a
real abelian variety $X$. By [GH81, Proposition 1.1], this map ${\mathrm{Nm}}$
is surjective. Thus $f_{\mathbb{R}}^{0}$ is surjective.

  2. 2.

Let $x\in A(\mathbb{R})^{0}_{\textnormal{tors}}$ and suppose that $n\cdot x=0$
for some $n\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$. By part 1, there exists $y\in
J(\mathbb{R})^{0}$ such that $f(y)=x$. We have that $n\cdot y\in
B(\mathbb{R})$, hence $2n\cdot y\in B(\mathbb{R})^{0}$. Since the abelian
group $B(\mathbb{R})^{0}$ is divisible, there exists $z\in B(\mathbb{R})^{0}$
such that $2n\cdot z=2n\cdot y$. Define $\alpha=y-z\in J(\mathbb{R})^{0}$.
Then $f(\alpha)=f(y)=x$. Moreover, $2n\cdot\alpha=0$. We conclude that
$J(\mathbb{R})^{0}_{\textnormal{tors}}\to
A(\mathbb{R})^{0}_{\textnormal{tors}}$ is surjective.

∎

######  Lemma 8.31.

Consider an exact sequence of real abelian varieties $0\to B\to
J\xrightarrow{f}A\to 0.$ If the restricted homomorphism $f\colon
J(\mathbb{R})\to A(\mathbb{R})$ is surjective, then the push-forward

$f_{\ast}\colon\textnormal{CH}_{0}(J)_{\textnormal{tors}}\to\textnormal{CH}_{0}(A)_{\textnormal{tors}}\quad\quad\text{
is also surjective.}$

###### Proof.

For an abelian group $G$, let $G_{\text{tors}}$ be the torsion subgroup and
$G_{\text{tors},\text{div}}$ the maximal divisible torsion subgroup of $G$.
Following van Hamel [Ham00], we may define, for an algebraic variety $X$ over
$\mathbb{R}$, a group ${\mathrm{A}}_{0}(X)^{\text{top}}$ as the quotient

${\mathrm{A}}_{0}(X)^{\text{top}}={\mathrm{A}}_{0}(X)_{\text{tors}}/{\mathrm{A}}_{0}(X)_{\textnormal{tors},\textnormal{div}}=\textnormal{CH}_{0}(X)_{\text{tors}}/\textnormal{CH}_{0}(X)_{\textnormal{tors},\textnormal{div}},$

where ${\mathrm{A}}_{0}(X)$ is the group of zero cycles of degree zero modulo
rational equivalence on $X$.

In our case, we obtain a commutative diagram with exact rows:

$\textstyle{0\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\textnormal{CH}_{0}(J)_{\textnormal{tors},\textnormal{div}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\textnormal{CH}_{0}(J)_{\text{tors}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{{\mathrm{A}}_{0}(J)^{\text{top}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{0}$$\textstyle{0\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\textnormal{CH}_{0}(A)_{\textnormal{tors},\textnormal{div}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\textnormal{CH}_{0}(A)_{\text{tors}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{{\mathrm{A}}_{0}(A)^{\text{top}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{0.}$

To prove that the vertical arrow in the middle is surjective, it suffices to
prove the surjectivity of the outer two vertical arrows. To prove the
surjectivity of the left vertical arrow, one uses the commutativity of the
diagram

$\textstyle{\textnormal{CH}_{0}(J)_{\textnormal{tors},\textnormal{div}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\sim}$AJ$\textstyle{J(\mathbb{R})^{0}_{\textnormal{tors}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\textnormal{CH}_{0}(A)_{\textnormal{tors},\textnormal{div}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\sim}$AJ$\textstyle{A(\mathbb{R})^{0}_{\textnormal{tors}}}$

and Lemma 8.30. The two Abel-Jacobi maps appearing in this diagram are
isomorphisms by [Ham00, Corollary 4.2].

It remains to prove that $A_{0}(J)^{\text{top}}\to A_{0}(A)^{\text{top}}$ is
surjective. Now for any smooth projective variety $X$ over $\mathbb{R}$, one
has by [Ham00, §3.2] that

${\mathrm{A}}_{0}(X)^{\text{top}}={\mathrm{A}}_{0}(X)/{\mathrm{A}}_{0}(X)_{\text{div}}.$

Thus the desired surjectivity follows from the surjectivity of
${\mathrm{A}}_{0}(J)\to{\mathrm{A}}_{0}(A)$. The latter is a consequence of
the surjectivity of $J(\mathbb{C})\to A(\mathbb{C})$ and $J(\mathbb{R})\to
A(\mathbb{R})$, and the fact that for an abelian variety $X$ over a field $k$,
the group ${\mathrm{A}}_{0}(X)$ is generated by zero-cycles of the form
$[x]-\deg(k(x_{i})/k)\cdot[0]$ for closed points $x$ on $X$. ∎

Let us now prove Proposition 8.28. We will need some notation.

######  Definition 8.32.

For an abelian variety $A$ of dimension $g$ over $\mathbb{R}$, define

$\displaystyle F^{2}\textnormal{CH}_{0}(A)_{\textnormal{tors}}$
$\displaystyle=\textnormal{Ker}\left(\textnormal{CH}_{0}(A)_{\textnormal{tors}}\to{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{2g-1}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(g)))\right)$
$\displaystyle=\left\\{\alpha\in\textnormal{CH}_{0}(A)_{\textnormal{tors}}\mid\textnormal{AJ}(\alpha)\in
A(\mathbb{R})^{0}\right\\}.$

For the second equality in Definition 8.32, see Lemma 8.29.

###### Proof of Proposition 8.28.

Let $d=\dim(J)$ and $g=\dim(A)$. Consider the following commutative diagram:

$\textstyle{F^{2}\textnormal{CH}_{0}(J)_{\textnormal{tors}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{F^{2}\textnormal{CH}_{0}(A)_{\textnormal{tors}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{F^{2}{\mathrm{H}}^{2d}_{G}(J(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(d))_{0}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{F^{2}{\mathrm{H}}^{2g}_{G}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(g))_{0}.}$

Its vertical arrows are surjective by Lemma 8.29 and Definition 8.32. To prove
the surjectivity of the lower horizontal arrow, it thus suffices to prove the
surjectivity of the upper horizontal arrow. Let this be our first goal.

For a real abelian variety $X$ of dimension $n$ over $\mathbb{R}$, define
$\Lambda_{X}={\mathrm{H}}^{2n-1}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(n))$. Recall the
canonical identification
$\pi_{0}(X(\mathbb{R}))={\mathrm{H}}^{1}(G,\Lambda_{X})$, see the sequence
(34). By Lemma 8.29, the rows in the following commutative diagram are exact:

(42)

The middle vertical arrow of diagram (42) is surjective by Lemma 8.31, and its
right vertical arrow is surjective by the surjectivity of
$\pi_{0}(J(\mathbb{R}))\to\pi_{0}(A(\mathbb{R}))$; the latter follows from the
surjectivity of $J(\mathbb{R})\to A(\mathbb{R})$.

_Claim 1:_ The kernel of
$\phi\colon\textnormal{CH}_{0}(J)_{\textnormal{tors}}\to\textnormal{CH}_{0}(A)_{\textnormal{tors}}$
surjects onto the kernel of
$f\colon\pi_{0}(J(\mathbb{R}))\to\pi_{0}(A(\mathbb{R}))$.

Indeed, this follows from the following commutative diagram, in which the two-
headed arrows are surjective:

(51)

The fact that
$\textnormal{CH}_{0}(B)_{\textnormal{tors}}\to\pi_{0}(B(\mathbb{R}))$ is
surjective follows from Lemma 8.29. The fact that $\pi_{0}(B(\mathbb{R}))$
surjects onto the kernel of
$f\colon\pi_{0}(J(\mathbb{R}))\to\pi_{0}(A(\mathbb{R}))$ follows from the
exact sequence in group cohomology

$\displaystyle
0\to\Lambda_{B}^{G}\to\Lambda_{J}^{G}\to\Lambda_{A}^{G}\to{\mathrm{H}}^{1}(G,\Lambda_{B})\to{\mathrm{H}}^{1}(G,\Lambda_{J})\to{\mathrm{H}}^{1}(G,\Lambda_{A})\to
0$ (52)

arising from the short exact sequence of $G$-modules
$0\to\Lambda_{B}\to\Lambda_{J}\to\Lambda_{A}\to 0$.

Claim 1 implies the surjectivity of the left vertical arrow in (42) by the
snake lemma. It remains to prove the surjectivity of the map $\hat{f}^{\ast}$
in the proposition.

_Claim 2:_ The maps $f_{\ast}$ and $\hat{f}^{\ast}$ fit into the following
commutative diagram, where the arrows $\twoheadrightarrow$ are surjective and
the arrows $\xrightarrow{\sim}$ are isomorphisms:

(61)

Since the surjectivity of $f_{\ast}$ on the left of diagram (61) has already
been proved, claim 2 follows from the functoriality of Fourier transforms (see
[MP10, (3.7.1)]), Proposition 8.26 and Lemma 8.27.

We can now finish the proof. Consider the diagram (61). By the commutativity
on the left, the morphism ${\mathrm{H}}^{2}(G,f_{\ast})$ is surjective. By the
commutativity of the square on the front, this implies that
${\mathrm{H}}^{2}(G,\hat{f}^{\ast})$ is surjective which, by the commutativity
on the right hand side of the diagram, implies that the morphism
$\hat{f}^{\ast}\colon
F^{2}{\mathrm{H}}^{4}_{G}({\widehat{J}}(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}\to
F^{2}{\mathrm{H}}^{4}({\widehat{A}}(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}$ is
surjective. ∎

######  Lemma 8.33.

Let $A$ be an abelian variety over $\mathbb{R}$. Then $A$ contains a smooth,
proper, geometrically connected curve $C$ over $\mathbb{R}$ that passes
through $0\in A(\mathbb{R})$ in such a way that the following two conditions
hold: the induced homomorphism $f\colon J(C)\to A$ is surjective with
connected kernel, and the homomorphism $f_{\mathbb{R}}\colon
J(C)(\mathbb{R})\to A(\mathbb{R})$ is surjective.

###### Proof.

Let $S\subset A(\mathbb{R})$ be a finite set of points containing $0\in
A(\mathbb{R})$ and at least one point of each connected component of
$A(\mathbb{R})$. Since $\mathbb{R}$ is infinite, Bertini’s theorem can be
applied: there exists a smooth and geometrically connected hyperplane section
$Z\subset A$ passing through $S$ [Har77, II, Theorem 8.18], [Deb01, Footnote
12, page 32]. Let $g=\dim(A)$. By taking $g-1$ general such hyperplane
sections, we get a smooth curve $C$ in $A$ that contains $S$. It remains to
prove that $C$ satisfies the requirements stated in the proposition.

Write $J=J(C)$ and consider the map $f\colon J\to A$ arising from the
inclusion $(C,0)\hookrightarrow(A,0)$. By the proof of Theorem 10.1 in
[Mil86], the homomorphism $f$ is surjective. We claim that the kernel of
$f\colon J_{\mathbb{C}}\to A_{\mathbb{C}}$ is connected. This follows from the
fact that
${\mathrm{H}}_{1}(C(\mathbb{C}),\mathbb{Z})\to{\mathrm{H}}_{1}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z})$
is surjective by the Lefschetz hyperplane theorem. Alternatively, see [Gab01,
Proposition 2.4] for an algebraic argument.

We have that $f_{\mathbb{R}}^{0}\colon J(\mathbb{R})^{0}\to A(\mathbb{R})^{0}$
is surjective by Lemma 8.30. Because $S$ is contained in the image of
$f_{\mathbb{R}}$, we conclude that $f_{\mathbb{R}}$ is surjective. ∎

Let us finish the proof of Theorem 8.8. Let $A$ be an abelian variety over
$\mathbb{R}$. The group
$F^{3}{\mathrm{H}}^{4}_{G}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}$ is trivial by
Proposition 8.26, so it remains to prove that
$F^{2}{\mathrm{H}}^{4}_{G}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}$ is algebraic. Let
$C\subset{\widehat{A}}$ be a real algebraic curve that satisfies the
conditions of Lemma 8.33. By Proposition 8.28, the pull-back homomorphism

$\hat{f}^{\ast}\colon
F^{2}{\mathrm{H}}^{4}_{G}({\widehat{J}}(C)(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}\to
F^{2}{\mathrm{H}}^{4}_{G}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}$

is surjective, where $f\colon J(C)\to{\widehat{A}}$ is the homomorphism
induced by the inclusion of $(C,0)$ in $({\widehat{A}},0)$. By the proof of
Theorem 8.8 in the Jacobian case, we know that
$F^{2}{\mathrm{H}}^{4}_{G}({\widehat{J}}(C)(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}$ is
algebraic. Therefore
$F^{2}{\mathrm{H}}^{4}_{G}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}$ is algebraic. ∎

#####  9 Reduction to the Abel-Jacobi map

Let us prove Corollary 8.9 and Proposition 8.10.

###### Proof of Corollary 8.9.

This follows Lemma 8.12, Theorem 8.3, equalities (6), filtration (19) and
Theorem 8.8. ∎

######  Proposition 8.34.

Let $B$ be a real abelian surface, and let $E$ be a real elliptic curve whose
real locus $E(\mathbb{R})$ is connected. The following homomorphism is
surjective:

$\displaystyle\textnormal{CH}^{2}(B\times
E)_{\hom}\to{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{3}(B(\mathbb{C})\times
E(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))).$ (62)

In particular, $B\times E$ satisfies the real integral Hodge conjecture, i.e.
Proposition 8.10 holds.

###### Proof.

First observe that

${\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{2}(B(\mathbb{C}),\mathbb{Z})\otimes{\mathrm{H}}^{1}(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z}))=(0)$

because ${\mathrm{H}}^{1}(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[G]$ by our
hypothesis that $E(\mathbb{R})$ is connected [Ham97, Chapter IV, Example 3.1].
By the Künneth formula, the canonical morphism

$\displaystyle\begin{split}{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{3}(B(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))\;\;&\bigoplus\;\;{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{1}(B(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(1))\otimes{\mathrm{H}}^{2}(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(1)))\\\
&\to\;\;{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{3}(B(\mathbb{C})\times
E(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2)))\end{split}$ (63)

is therefore an isomorphism. Since
${\mathrm{H}}^{2}(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(1))\cong\mathbb{Z}$ as $G$-modules,
the canonical map

$\displaystyle\begin{split}{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{1}(B(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(1)))\;\;&\bigotimes\;\;{\mathrm{H}}^{0}(G,{\mathrm{H}}^{2}(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(1)))\\\
&\to\;\;{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{1}(B(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(1))\otimes{\mathrm{H}}^{2}(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(1)))\end{split}$
(64)

is an isomorphism as well. To simplify notation, for any abelian variety $X$
over $\mathbb{R}$, define

${\mathrm{H}}^{i}_{X}(j)={\mathrm{H}}^{i}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(j)).$

Consider the following commutative diagram:

(73)

The indicated isomorphisms $\xrightarrow{\sim}$ in diagram (73) arise from the
isomorphisms (63) and (64) above. The map
$\textnormal{CH}^{2}(B)_{\textnormal{tors}}\to{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{3}_{B}(2))$
is surjective by Lemma 8.29, and the map
$\textnormal{CH}^{1}(B)_{\hom}\to{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{1}_{B}(1))$
is surjective by the real integral Hodge conjecture for divisors (see Section
2) and the fact that the topological condition for degree two cohomology
classes is trivial [BW20a, §2.3.1]. Therefore, the vertical composition on the
left of (73) is surjective, which implies that the vertical composition on the
right – which is (62) – is surjective. By Corollary 8.9, this implies that
$B\times E$ satisfies the real integral Hodge conjecture. ∎

The topological condition (4) does not appear on the right hand side of (62).
This has the following corollary. To state it, recall the following fact. For
a real abelian variety $A$ of dimension $g$, one has
$\left|\pi_{0}(A(\mathbb{R}))\right|\leq 2^{g}$ (see [GH81, §1]) and for every
non-negative pair of integers $(i,g)$ with $i\leq g$, there is a real abelian
variety $A$ of dimension $g$ such that
$\left|\pi_{0}(A(\mathbb{R}))\right|=2^{i}$ (take a suitable product of
elliptic curves). In particular, if $g=\dim(A)=3$, then
$\left|\pi_{0}(A(\mathbb{R}))\right|\in\\{1,2,4,8\\}$.

######  Corollary 8.35.

Let $A$ be a real abelian threefold, and suppose that
$\left|\pi_{0}(A(\mathbb{R}))\right|\neq 8$. Then the canonical map

$\displaystyle
F^{1}{\mathrm{H}}^{4}_{G}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}\to{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{3}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2)))$
(74)

is surjective. Thus, $A$ satisfies the real integral Hodge conjecture if and
only if the Abel-Jacobi map

$\textnormal{CH}_{1}(A)_{\hom}\to{\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{3}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2)))$

is surjective.

###### Proof.

To prove the surjectivity of (74), we may replace $A(\mathbb{C})$ by any
differentiable $G$-manifold which is $G$-equivariantly diffeomorphic to
$A(\mathbb{C})$. In particular, we may assume that $A=B\times E$, where $B$ is
an abelian surface and $E$ an elliptic curve whose real locus is connected
(see (22)). The surjectivity of (74) follows then from the fact that the group
${\mathrm{H}}^{1}(G,{\mathrm{H}}^{3}(B(\mathbb{C})\times
E(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2)))$ is algebraic by Proposition 8.34. The second
statement follows from the first, due to Corollary 8.9. ∎

##  Part 3 Summary in French

###  Chapter 9 Résumé en français

####  1 Introduction

Cette thèse porte sur l’étude des cycles algébriques et des espaces de modules
en géométrie algébrique réelle. Nous espérons que le présent manuscrit puisse
apporter une contribution à la compréhension de ces concepts, tant pris
individuellement que dans leurs interactions mutuelles. Afin de mener ce
projet à bien, nous étudions au fil de ce texte les phénomènes suivants :

  * •

La structure hyperbolique de l’espace de modules des quintiques binaires
réelles.

  * •

La distribution des variétés abéliennes non-simples dans une famille de
variétés abéliennes réelles.

  * •

Courbes algébriques sur des variétés abéliennes complexes et réelles.

Comme nous allons le voir, les résultats ainsi que les méthodes de ces
différents sujets sont étroitement liés. Un outil omniprésente tout au long de
ce projet est la _théorie de Hodge équivariante_ : l’utilisation de la théorie
de Hodge pour étudier la cohomologie, les modules et les cycles des variétés
algébriques réelles.

####  2 Résumé du Chapitre 2: Espaces de modules réelles

Notre premier résultat fournit une méthode générale de construction des
espaces de modules en géométrie algébrique réelle. Dans le cadre classique de
la géométrie complexe, l’espace de modules d’une catégorie donnée d’objets
algébriques peut souvent être construit en appliquant le théorème de Keel-Mori
au champ de modules correspondant. Par exemple, cela fonctionne lorsqu’un tel
champ est séparé et de Deligne-Mumford sur $\mathbb{C}$. Pour un champ de
modules défini sur les réels, il est _a priori_ moins aisé d’obtenir une
structure analytique sur l’ensemble des classes d’isomorphisme de son lieu
réel, cet ensemble n’étant en général pas en bijection avec le lieu réel de
l’espace de modules grossier. Pourtant, nous parvenons à établir le résultat
suivant.

######  Théorème 9.1.

Soit ${\mathscr{X}}$ un champ algébrique localement de type fini sur
$\mathbb{R}$. Il existe une topologie sur l’ensemble des classes
d’isomorphisme $\left|{\mathscr{X}}(\mathbb{R})\right|$ du lieu réel de
${\mathscr{X}}$, fonctorielle en ${\mathscr{X}}$ et qui coincide avec la
topologie analytique réelle lorsque ${\mathscr{X}}$ est un schéma. En outre,
si ${\mathscr{X}}$ est lisse et de Deligne-Mumford sur $\mathbb{R}$, l’espace
$\left|{\mathscr{X}}(\mathbb{R})\right|$ porte une structure d’orbifold
fonctorielle en ${\mathscr{X}}$.

Comment cette approche se compare-t-elle aux méthodes plus classiques pour
construire des espaces de modules en géométrie algébrique réelle ? Considérons
deux cas particuliers : soit ${\mathcal{A}}_{g}$ le champ des variétés
abéliennes principalement polarisées de dimension $g$, et soit
${\mathcal{M}}_{g}$ le champ des courbes propres, lisses et géométriquement
connexes de genre $g$. Il est bien connu qu’il existe des uniformisations
analytiques complexes

${\mathcal{A}}_{g}(\mathbb{C})\cong\textnormal{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})\setminus{\mathbb{H}}_{g},\quad\textnormal{
et
}\quad{\mathcal{M}}_{g}(\mathbb{C})\cong\Gamma_{g}\setminus{\mathcal{T}}_{g}.$

Ici, ${\mathbb{H}}_{g}$ (resp. ${\mathcal{T}}_{g}$) est une variété complexe
paramétrant les variétés abéliennes complexes (resp. des courbes complexes)
dotées d’une certaine structure supplémentaire;
$\textnormal{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ (resp. $\Gamma_{g}$) est un groupe discret
agissant holomorphiquement et proprement discontinûment sur ${\mathbb{H}}_{g}$
(resp. ${\mathcal{T}}_{g}$) en permutant lesdites structures supplémentaires;
enfin, l’application ${\mathbb{H}}_{g}\to{\mathcal{A}}_{g}(\mathbb{C})$ (resp.
${\mathcal{T}}_{g}\to{\mathcal{M}}_{g}(\mathbb{C})$) est obtenue en oubliant
ces structures.

Pour obtenir des espaces de modules réels pour ces problèmes de modules, on
définit des ensembles d’involutions anti-holomorphes

$\\{\sigma\colon{\mathbb{H}}_{g}\to{\mathbb{H}}_{g}\\}\quad\textnormal{ et
}\quad\\{\tau\colon{\mathcal{T}}_{g}\to{\mathcal{T}}_{g}\\}$

de sorte que toute variété abélienne réelle principalement polariée de
dimension $g$ (resp. toute courbe réelle de genre $g$) se trouve dans
${\mathbb{H}}_{g}^{\sigma}$ (resp. ${\mathcal{T}}_{g}^{\tau}$) pour un certain
$\sigma$ (resp. $\tau$). Pour des sous-groupes
$\textnormal{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})(\sigma)\subset\textnormal{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$
et $\Gamma_{g}(\tau)\subset\Gamma_{g}$ définis de manière appropriée, on
obtient des bijections (voir [GH81, Sil89, SS89]):

$\displaystyle{\mathcal{A}}_{g}(\mathbb{R})\cong\bigsqcup_{\sigma}\textnormal{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})(\sigma)\setminus{\mathbb{H}}_{g}^{\sigma}\quad\textnormal{
and
}\quad{\mathcal{M}}_{g}(\mathbb{R})\cong\bigsqcup_{\tau}\Gamma_{g}(\tau)\setminus{\mathcal{T}}_{g}^{\tau}.$
(1)

Comme dans le cas complexe, il se trouve que ces applications des périodes
sont des homéomorphismes.

######  Théorème 9.2.

Les bijections dans (1) sont des homéomorphismes, où les ensembles
$\left|{\mathcal{A}}_{g}(\mathbb{R})\right|$ et
$\left|{\mathcal{M}}_{g}(\mathbb{R})\right|$ sont munis de la topologie donnée
par le Théorème 9.1.

####  3 Résumé du Chapitre 3: Lieux de Noether-Lefschetz réels

Dans le Chapitre 3, nous développons un certain critère de densité, analogue
au critère de Green–Voisin pour les lieux de Noether-Lefschetz d’une variation
de structure de Hodge de poids deux (voir [Voi02, §17.3.4]). Pour formuler ce
résultat et le comparer au critère bien connu de Green–Voisin, on considère
une famille holomorphe de variétés abéliennes complexes polarisées

$\displaystyle\left(\psi\colon A\to B,\quad s\colon B\to A,\quad E\in
R^{2}\psi_{\ast}\mathbb{Z}\right).$ (2)

C’est-à-dire que $\psi$ est une submersion propre holomorphe, $s$ une section
holomorphe de $\psi$ et on suppose que pour chaque $t\in B$, la fibre
$A_{t}=\psi^{-1}(t)$ est une variété abélienne complexe polarisée d’origine
$s(t)$ et de polarisation $E_{t}\in{\mathrm{H}}^{2}(A_{t},\mathbb{Z})$. On
suppose que $B$ est connexe. Pour chaque entier positif $k<g$, notons
$S_{k}\subset B$ l’ensemble des $t\in B$ tels que $A_{t}$ contient une sous-
variétié abélienne complexe de dimension $k$. Le résultat principal de [CP90]
est le suivant :

######  Théorème (Colombo–Pirola).

Si la Condition 3.1 du Chapitre 3 est vérifiée, alors $S_{k}$ est dense pour
la topologie euclidienne dans $B$.

Supposons à notre tour qu’il existe des involutions anti-holomorphes
$\sigma\colon B\to B$ et $\tau\colon A\to A$, qui commutent avec $\psi$ et $s$
et qui sont compatibles à la polarisation $E$. En posant

$R_{k}=\left\\{t\in B(\mathbb{R})\mid A_{t}\textnormal{ contient une sous-
vari\'{e}t\'{e} ab\'{e}lienne r\'{e}elle de dimension $k$}\right\\},$

nous obtenons le résultat suivant :

######  Théorème 9.3.

Si la Condition 3.1 du Chapitre 3 est vérifée, alors $R_{k}$ est dense pour la
topologie euclidienne dans $B(\mathbb{R})$.

Il est intéressant de comparer ces théorèmes avec des résultats analogues pour
les lieux de Noether-Lefschetz des hypersurfaces dans $\mathbb{P}^{3}$. Fixons
$d\geq 4$ un entier et considérons l’hypersurface lisse universelle
$\mathbb{P}^{3}\times{\mathscr{B}}\supset{\mathscr{S}}\to{\mathscr{B}}$ de
degré $d$. Classiquement, le _lieu de Noether-Lefschetz_ est défini comme
l’ensemble des $t\in{\mathscr{B}}(\mathbb{C})$ tel que ${\mathscr{S}}_{t}$
contient une courbe qui n’est pas une intersection complète. Dans ce cas, le
résultat principal de [CHM88] assure que ce lieu est dense pour la topologie
euclidenne dans ${\mathscr{B}}(\mathbb{C})$, bien que son intérieur soit vide
[Lef50]. La situation sur $\mathbb{R}$ s’avère être plus délicate que la
situation sur $\mathbb{C}$. Par analogie avec ce qui précède, on peut définir
le lieu de Noether-Lefschetz réel comme l’ensemble des
$t\in{\mathscr{B}}(\mathbb{R})$ tel que
$\textnormal{Pic}({\mathscr{S}}_{t})\not\cong\mathbb{Z}$. En contraste avec la
situation complexe, il existe pour $d=4$ une composante connexe $K$ de
${\mathscr{B}}(\mathbb{R})$ dont l’intersection avec le lieu de Noether-
Lefschetz réel est vide. Il existe un critère de Green–Voisin sur les réels
[Ben18, Proposition 1.1], mais son hypothèse est plus compliquée et il ne
s’applique qu’à une composante connexe de ${\mathscr{B}}(\mathbb{R})$ à la
fois.

Il est remarquable que pour le problème analogue pour les variétés abéliennes,
aucune de ces difficultés n’apparaît. Les applications du Théorème 9.3 sont
donc pléthores :

######  Théorème 9.4.

Soient $k$ et $g$ deux entiers positifs avec $k<g$.

  1. 1.

Les points dans $\left|{\mathcal{A}}_{g}(\mathbb{R})\right|$ correspondant à
des variétés abéliennes réelles contenant une sous-variété abélienne réelle de
dimension $k$ sont denses dans $\left|{\mathcal{A}}_{g}(\mathbb{R})\right|$.

  2. 2.

Si $k\leq 3\leq g$, les points dans
$\left|{\mathcal{M}}_{g}(\mathbb{R})\right|$ correspondant à des courbes
algébriques réelles $C$ admettant un morphisme $f\colon C\to A$ vers une
variété abélienne $A$ de dimension $k$ tel que $f(C(\mathbb{C}))$ engendre le
groupe $A(\mathbb{C})$ sont denses dans
$\left|{\mathcal{M}}_{g}(\mathbb{R})\right|$.

  3. 3.

Soit
$V\subset{\mathbb{P}}{\mathrm{H}}^{0}({\mathbb{P}}^{2}_{{{\mathbb{R}}}},\mathcal{O}_{{\mathbb{P}}^{2}_{{{\mathbb{R}}}}}(d))$
l’espace des courbes planes réelles lisses de degré $d$. Les points $t\in V$
tels que la courbe correspondante $C_{t}$ admet un morphisme non constant
$C_{t}\to E$ vers une courbe elliptique réelle $E$ sont denses dans $V$.

####  4 Résumé du Chapitre 4: Recoller des quotients de la boule

On verra plus tard (Section 5) que chaque composante connexe de l’espace de
modules des quintiques binaires réelles lisses est isomorphe à un sous-
ensemble ouvert d’un quotient du plan hyperbolique réel par un groupe discret
d’isométries. En fait, il se trouve que ces isomorphismes s’étendent en un
isomorphisme entre l’espace de modules réel des quintiques binaires stables et
le quotient du plan hyperbolique réel par un groupe de triangles non
arithmétique (voir le Théorème 9.7 ci-dessous). Pour établir un tel résultat,
nous développons une méthode générale de recollement des espaces quotients
hyperboliques réels dans le Chapitre 4, s’appuyant sur les travaux de Allcock,
Carlson et Toledo [ACT06, ACT10]. Les variétés unitaires de Shimura
fournissent un cadre approprié pour ces techniques de collage ; nous
expliquons ici sommairement et dans un langage plus élémentaire comment cela
fonctionne.

Soit $K$ un corps CM de degré $2g$ sur $\mathbb{Q}$ d’anneau des entiers
$\mathcal{O}_{K}$. Soit $\Lambda$ un $\mathcal{O}_{K}$-module libre de type
fini, muni d’une forme hermitienne $h:\Lambda\times\Lambda\to\mathcal{O}_{K}$.
Supposons que la signature de $h$ soit $(n,1)$ par rapport à un plongement
$\tau\colon K\to\mathbb{C}$, et que $h$ soit définie par rapport aux autres
places infinies de $K$. Soit $\mathbb{C}H^{n}$ l’espace des droites négatives
dans $\Lambda\otimes_{\mathcal{O}_{K},\tau}\mathbb{C}$ et
$P\Gamma=\textnormal{Aut}(\Lambda,h)/\mu_{K}$ où
$\mu_{K}\subset\mathcal{O}_{K}^{\ast}$ le groupe des unités finies de $K$.
Notons $P{\mathscr{A}}$ le quotient de l’ensemble des involutions anti-
unitaires $\Lambda\to\Lambda$ par $\mu_{K}$, et
${\mathscr{H}}=\cup_{h(r,r)=1}\langle
r_{\mathbb{C}}\rangle^{\perp}\subset\mathbb{C}H^{n}$, où $\langle
r_{\mathbb{C}}\rangle^{\perp}$ est l’ensemble
$\left\\{x\in{\mathbb{C}}H^{n}\mid h(x,r)=0\right\\}$. Supposons que la
condition suivante soit satisfaite :

######  Condition (voir [ACT02b]).

Si $r,t\in\Lambda$ sont des éléments de norme un, et si $h(r,t)\neq 0$, alors
soit $\langle r_{\mathbb{C}}\rangle^{\perp}=\langle
t_{\mathbb{C}}\rangle^{\perp}\subset{\mathbb{C}}H^{n}$, soit $\langle
r_{\mathbb{C}}\rangle^{\perp}\cap\langle
t_{\mathbb{C}}\rangle^{\perp}=\emptyset\subset{\mathbb{C}}H^{n}$.

Cette condition est toujours vérifiée lorsque le corps $K$ vérifie certaines
hypothèses (voir les Conditions 4.49), satisfaites lorsque $K$ est quadratique
imaginaire ou égal à $\mathbb{Q}(\zeta_{p})$ pour un nombre premier $p>2$
(voir le Théorème 4.50 et le Lemme 4.52).

Nous fournissons un moyen canonique de recoller les différentes copies
$\mathbb{R}H^{n}_{\alpha}\coloneqq\left(\mathbb{C}H^{n}\right)^{\alpha}\subset\mathbb{C}H^{n},\alpha\in
P{\mathscr{A}}$ de l’espace hyperbolique réel $\mathbb{R}H^{n}$ le long de
l’arrangement d’hyperplans ${\mathscr{H}}$. Cela donne un espace topologique
que nous désignons par $Y$, sur lequel agit $P\Gamma$. Définissons
$P\Gamma_{\alpha}\subset P\Gamma$ comme étant le stabilisateur de
$\mathbb{R}H^{n}_{\alpha}$.

Le but du Chapitre 4 est de démontrer le théorème suivant.

######  Théorème 9.5.

L’espace topologique $P\Gamma\setminus Y$ porte une structure canonique
d’orbifold hyperbolique réelle, pour laquelle il existe un plongement ouvert
d’orbifolds

$\coprod_{\alpha\in P\Gamma\setminus
P{\mathscr{A}}}[P\Gamma_{\alpha}\setminus\left(\mathbb{R}H^{n}_{\alpha}-{\mathscr{H}}\right)]\hookrightarrow
P\Gamma\setminus Y.$

De plus, pour chaque composante connexe $C\subset P\Gamma\setminus Y$ il
existe un réseau $P\Gamma_{C}\subset\textnormal{PO}(n,1)$ ainsi qu’un
isomorphisme d’orbifolds hyperboliques réels
$C\cong[P\Gamma_{C}\setminus\mathbb{R}H^{n}]$.

####  5 Résumé du Chapitre 5: Modules des quintiques binaires réelles

Soit $X\cong{\mathbb{A}}^{6}_{\mathbb{R}}$ l’espace affine paramétrant les
polynômes homogènes $F\in\mathbb{R}[x,y]$ de degré cinq. Considérons les sous-
variétés $X_{0}\subset X_{s}\subset X$ paramétrant les polynômes à racines
distinctes, resp. les polynômes à racines de multiplicité au plus deux (c’est-
à-dire stables au sens de la théorie des invariants géométriques).

Le but du Chapitre 5 est d’étudier les espaces de modules des quintiques
binaires réelles stables et lisses

${\mathcal{M}}_{s}(\mathbb{R})=\textnormal{GL}_{2}(\mathbb{R})\setminus
X_{s}(\mathbb{R})\supset\textnormal{GL}_{2}(\mathbb{R})\setminus
X_{0}(\mathbb{R})={\mathcal{M}}_{0}(\mathbb{R}).$

Si $P_{s}\subset\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})^{5}$ est l’espace des cinq-uples
$(x_{1},\dotsc,x_{5})$ dans $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ tels que pour $i,j,k$
deux à deux distincts on n’ait pas $x_{i}=x_{j}=x_{k}$ (c.f. [MS72]), et
$P_{0}\subset P_{s}$ le sous-espace des cinq-uples dont toutes les coordonnées
sont distinctes, alors

${\mathcal{M}}_{0}(\mathbb{R})\cong\textnormal{PGL}_{2}(\mathbb{R})\setminus(P_{0}/{\mathfrak{S}}_{5})(\mathbb{R})\quad\quad\text{
et
}\quad\quad{\mathcal{M}}_{s}(\mathbb{R})\cong\textnormal{PGL}_{2}(\mathbb{R})\setminus(P_{s}/{\mathfrak{S}}_{5})(\mathbb{R}).$

Pour $i=0,1,2$, définissons ${\mathscr{M}}_{i}$ comme la composante connexe de
${\mathcal{M}}_{0}(\mathbb{R})$ paramétrant les
$S\subset\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ avec exactement $5-2i$ points réels.

Il existe une application de périodes naturelle qui définit un isomorphisme
entre ${\mathcal{M}}_{s}(\mathbb{C})=\textnormal{GL}_{2}(\mathbb{C})\setminus
X_{s}(\mathbb{C})$ et un certain quotient de boule arithmétique
$P\Gamma\setminus\mathbb{C}H^{2}$. Sous cet isomorphisme, les quintiques
strictement stables correspondent à des points dans un arrangement
d’hyperplans ${\mathscr{H}}\subset\mathbb{C}H^{2}$ (Théorème 5.14 et
Proposition 5.15). En étudiant l’équivariance de l’application des périodes
sous des involutions anti-holomorphes $\mathbb{C}H^{2}\to\mathbb{C}H^{2}$
adéquates, nous obtenons le résultat suivant :

######  Théorème 9.6.

Pour chaque $i\in\\{0,1,2\\}$, l’application des périodes induit un
isomorphisme d’orbifolds analytiques réels ${\mathscr{M}}_{i}\cong
P\Gamma_{i}\setminus\left(\mathbb{R}H^{2}-{\mathscr{H}}_{i}\right)$. Ici,
$\mathbb{R}H^{2}$ est le plan hyperbolique réel, ${\mathscr{H}}_{i}$ une union
de sous-espaces géodésiques dans $\mathbb{R}H^{2}$ et $P\Gamma_{i}$ un réseau
arithmétique dans $\textnormal{PO}(2,1)$ attaché à une forme quadratique sur
$\mathbb{Z}[\zeta_{5}+\zeta_{5}^{-1}]$.

Le Théorème 9.6 dote chaque composante ${\mathscr{M}}_{i}$ d’une métrique
hyperbolique naturelle. Puisque l’on peut déformer le type topologique d’une
partie à cinq éléments de $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$, stable sous
$\textnormal{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$, en permettant à deux points d’être
recollés, la compactification
${\mathcal{M}}_{s}(\mathbb{R})\supset{\mathcal{M}}_{0}(\mathbb{R})$ est
connexe. On peut donc se demander si les métriques sur les ${\mathscr{M}}_{i}$
s’étendent en une métrique sur ${\mathcal{M}}_{s}(\mathbb{R})$ et, le cas
écheant, à quoi ressemble l’espace résultant à la frontière. Le résultat
principal du Chapitre 4 est le suivant, qui est une application des Théorèmes
9.5 et 9.6 ci-dessus.

######  Théorème 9.7.

Il existe une métrique hyperbolique complète sur
${\mathcal{M}}_{s}(\mathbb{R})$ dont la restriction à ${\mathscr{M}}_{i}$ est
la métrique induite par le Théorème 9.6. Muni de cette métrique,
${\mathcal{M}}_{s}(\mathbb{R})$ est isométrique au triangle hyperbolique
d’angles $\pi/3,\pi/5,\pi/10$ (voir Figure 1). De là, si

$P\Gamma_{3,5,10}=\langle\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}|\alpha_{i}^{2}=(\alpha_{1}\alpha_{2})^{3}=(\alpha_{1}\alpha_{3})^{5}=(\alpha_{2}\alpha_{3})^{10}=1\rangle,$

il existe un homéomorphisme

${\mathcal{M}}_{s}(\mathbb{R})\cong
P\Gamma_{3,5,10}\setminus\mathbb{R}H^{2}\;\text{ et un plongement
}\;\coprod_{i}P\Gamma_{i}\setminus\left(\mathbb{R}H^{2}-{\mathscr{H}}_{i}\right)\subset
P\Gamma_{3,5,10}\setminus{\mathbb{R}}H^{2}$

compatibles avec les isomorphismes ${\mathscr{M}}_{i}\cong
P\Gamma_{i}\setminus\left(\mathbb{R}H^{2}-{\mathscr{H}}_{i}\right)$ du
Théorème 9.6.

####  6 Résumé du Chapitre 6: Transformations de Fourier entières

(d’après un travail en commun avec Thorsten Beckmann)

Soit $g$ un entier positif et $A$ une variété abélienne de dimension $g$ sur
un corps $k$. _Les transformations de Fourier_ sont des correspondances
attachées au faisceau de Poincaré ${\mathcal{P}}_{A}$ sur
$A\times{\widehat{A}}$ entre les catégories dérivées, les groupes de Chow
rationnels et la cohomologie de $A$ et de ${\widehat{A}}$ [Muk81, Bea82,
Huy06]. La transformation de Fourier sur les groupes de Chow rationnels

$\displaystyle{\mathcal{F}}_{A}\colon\textnormal{CH}(A)_{\mathbb{Q}}\xrightarrow{\sim}\textnormal{CH}({\widehat{A}})_{\mathbb{Q}}$
(3)

fournit un outil puissant d’étude des cycles algébriques sur $A$. Au niveau de
la cohomologie, la transformation de Fourier préserve la cohomologie étale
$\ell$-adique entière lorsque $k$ est séparablement clos, et la cohomologie de
Betti entière lorsque $k=\mathbb{C}$. Il est donc naturel de se demander si la
transformation de Fourier (3) se relève en un homomorphisme entre groupes de
Chow entiers. Cette question a été soulevée par Moonen–Polishchuk dans [MP10]
et par Totaro dans [Tot21], et sera explorée dans le Chapitre 6. Considérons
le résultat suivant :

######  Théorème (Moonen–Polishchuk).

  1. 1.

Soit $k$ un corps et $C$ une courbe hyperelliptique sur $k$ telle que l’un des
points de Weierstrass de $C$ est défini sur $k$. Pour la jacobienne $A=J(C)$
de $C$, la transformation de Fourier (3) se relève en un homomorphisme
motivique
${\mathcal{F}}\colon\textnormal{CH}(A)\to\textnormal{CH}({\widehat{A}})$.

  2. 2.

Soit $g\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$ et considérons le champ de modules
${\mathcal{M}}_{g,1}$. Soit $K$ son corps de fonctions et $(C,p_{0})$ sont
point générique. Pour la jacobienne $A=J(C)$ de $C$, la transformation de
Fourier (3) se ne se relève pas en un homomorphisme
${\mathcal{F}}\colon\textnormal{CH}(A)\to\textnormal{CH}({\widehat{A}})$.

Nous établissons le résultat suivant :

######  Théorème 9.8.

Soit $k$ un corps, $A$ une variété abélienne sur $k$ de dimension $g\geq 1$,
et $\Theta\in\textnormal{CH}^{1}(A)$ la classe d’un diviseur induisant une
polarisation principale sur $A$.

  1. 1.

Si le cycle rationnel
$\Theta^{g-1}/(g-1)!\in\textnormal{CH}_{1}(A)_{\mathbb{Q}}$ se relève en un
cycle entier $\Gamma\in\textnormal{CH}_{1}(A)$, alors la transformation de
Fourier (3) se relève en un homomorphisme motivique
${\mathcal{F}}\colon\textnormal{CH}(A)\to\textnormal{CH}({\widehat{A}})$.

  2. 2.

Si $(-1)^{\ast}\Theta=\Theta\in\textnormal{CH}^{1}(A)$, l’inverse de
l’assertion 1 est également vrai.

####  7 Résumé du Chapitre 7: Cycles algébriques sur les jacobiennes

(d’après un travail en commun avec Thorsten Beckmann)

Savoir si la transformation de Fourier (3) se relève aux groupes de Chow
entiers a des conséquences importantes pour l’image de l’application classe de
cycle. Rappelons que, bien que la conjecture de Hodge entière échoue en
général [AH62, tre92, Tot97], elle reste une question ouverte pour les
variétés abéliennes. En nous appuyant sur les résultats du Chapitre 6, nous
prouvons ce qui suit au Chapitre 7 :

######  Théorème 9.9.

Soit $A$ une variété abélienne complexe de dimension $g~\geq 1$ avec fibré de
Poincaré ${\mathcal{P}}_{A}$. Les trois assertions suivantes sont équivalentes
:

  1. 1.

La classe de cohomologie
$c_{1}({\mathcal{P}}_{A})^{2g-1}/(2g-1)!\in{\mathrm{H}}^{4g-2}(A\times{\widehat{A}},\mathbb{Z})$
est algébrique.

  2. 2.

Le caractère de Chern
$\textnormal{ch}({\mathcal{P}}_{A})=\exp(c_{1}({\mathcal{P}}_{A}))\in{\mathrm{H}}^{\bullet}(A\times{\widehat{A}},\mathbb{Z})$
est algébrique.

  3. 3.

La conjecture de Hodge entière pour les courbes est valable pour
$A\times{\widehat{A}}$.

L’une quelconque de ces assertions implique la conjecture entière de Hodge
pour les courbes sur $A$. De plus, si $A$ est principalement polarisée par
$\theta\in\textnormal{Hdg}^{2}(A,\mathbb{Z})$, les énoncés 1 \- 3 sont
équivalents à l’algébricité de la classe
$\theta^{g-1}/(g-1)!\in{\mathrm{H}}^{2g-2}(A,\mathbb{Z})$.

Nous obtenons comme corollaire le résultat suivant :

######  Théorème 9.10.

Soient $C_{1},\dotsc,C_{n}$ des courbes projectives lisses sur $\mathbb{C}$.
La conjecture de Hodge entière pour les courbes vaut pour le produit des
jacobiennes $J(C_{1})\times\cdots\times J(C_{n})$.

De plus, à l’aide du Théorème 9.9, nous démontrons :

######  Théorème 9.11.

Soit $g\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$. Il existe une union dénombrable
$X\subset{\mathcal{A}}_{g}(\mathbb{C})$ de sous-variétés algébriques de
dimension au moins $3g-3$, satisfaisant les conditions suivantes: $X$ est
dense pour la topologie euclidienne dans ${\mathcal{A}}_{g}(\mathbb{C})$ et la
conjecture de Hodge entière pour les courbes vaut pour les variétés abéliennes
définissant un point dans $X$.

La généralité de la théorie des transformations de Fourier entières que nous
avons développée (voir la Section 6) permet d’obtenir des résultats similaires
en caractéristique non nulle. Étant donnée $k$, la clôture séparable d’un
corps finiment engendré, une variété projective lisse $X$ de dimension $n$ sur
$k$ satisfait la _conjecture de Tate entière pour les courbes sur $k$_ si pour
tout nombre premier $\ell\neq{\textnormal{char}}(k)$ et tout corps de
définition finiment engendré $k_{0}\subset k$ de $X$, l’application classe de
cycle

$cl\colon\textnormal{CH}_{1}(X)_{\mathbb{Z}_{\ell}}=\textnormal{CH}_{1}(X)\otimes_{\mathbb{Z}}{\mathbb{Z}_{\ell}}\to\bigcup_{U}{\mathrm{H}}_{\textnormal{\'{e}t}}^{2n-2}(X,\mathbb{Z}_{\ell}(n-1))^{U}$
(4)

est surjective, où $U$ parcourt les sous-groupes ouverts de
$\textnormal{Gal}(k/k_{0})$.

######  Théorème 9.12.

Soit $(A,\lambda)$ une variété abélienne principalement polarisée sur $k$, de
dimension $g$ et de classe de polarisation
$\theta_{\ell}\in{\mathrm{H}}^{2}_{\textnormal{\'{e}t}}(A,\mathbb{Z}_{\ell}(1))$.
L’application classe de cycle (4) est surjective si
$\theta_{\ell}^{g-1}/(g-1)!\in{\mathrm{H}}_{\textnormal{\'{e}t}}^{2g-2}(A,\mathbb{Z}_{\ell}(g-1))$
est dans son image.

Observer que la condition dans le Théorème 9.12 est toujours vérifiée si
$\ell>(g-1)!$. Nous obtenons comme corollaire le résultat suivant :

######  Théorème 9.13.

Soient $C_{1},\dotsc,C_{n}$ des courbes projectives lisses sur $k$. La
conjecture de Tate entière pour les courbes sur $k$ vaut pour le produit des
jacobiennes $J(C_{1})\times\cdots\times J(C_{n})$.

Soit $k$ la clôture algébrique d’un corps finiment engendré de caractéristique
non nulle, et soit $X$ une variété projective lisse sur $k$. La _conjecture
entière de Tate pour les courbes sur $k$_ est l’analogue de la propriété
introduite ci-dessus.

######  Théorème 9.14.

Soit ${\mathsf{A}}_{g}$ l’espace de modules grossier des variétés abéliennes
principalement polarisées de dimension $g$ sur $k$. Les points de
${\mathsf{A}}_{g}(k)$ correspondant à des variétés abéliennes satisfaisant la
conjecture de Tate entière pour les courbes sur $k$ sont Zariski denses dans
${\mathsf{A}}_{g}$.

####  8 Résumé du Chapitre 8: Courbes sur les solides abéliens réels

Posons $G=\textnormal{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$. Pour toute variété
projective lisse $X$ sur $\mathbb{R}$, Benoist et Wittenberg [BW20a] ont
défini un sous-groupe
$\textnormal{Hdg}^{2k}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(k))_{0}$ du groupe de
cohomologie équivariant ${\mathrm{H}}^{2k}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(k))$
et ont étudié l’application classe de cycle

$\displaystyle\textnormal{CH}_{i}(X)\to{\mathrm{\textnormal{Hdg}}}^{2k}_{G}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(k))_{0}\quad\quad\left(i+k=\dim(X)\right).$
(5)

La _conjecture de Hodge entière réelle pour les $i$-cycles_ questionne la
surjectivité de (5). Comme dans la situation complexe, la surjectivité de (5)
est valable pour toute variété projective lisse $X$ sur $\mathbb{R}$ si
$i\in\\{\dim(X),\dim(X)-1,0\\}$ [Kra91, MvH98, Ham97, BW20a], mais peut
échouer pour d’autres valeurs de $i\in\left\\{0,\dotsc,\dim(X)\right\\}$.

En utilisant la théorie du Chapitre 6, nous fournissons dans le Chapitre 8 des
résultats soutenant la conjecture de Hodge entière réelle pour les solides
abéliens.

######  Théorème 9.15.

Tout solide abélien $A$ sur $\mathbb{R}$ satisfait la conjecture de Hodge
entière réelle modulo la torsion, au sens où l’homomorphisme suivant est
surjectif :

$\textnormal{CH}_{1}(A)~\to\textnormal{Hdg}^{4}_{G}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))_{0}/(\textnormal{torsion})=\textnormal{Hdg}^{4}(A(\mathbb{C}),\mathbb{Z}(2))^{G}.$

Nous obtenons comme corollaire le résultat suivant :

######  Théorème 9.16.

Soit $A$ un solide abélien sur $\mathbb{R}$ tel que $A(\mathbb{R})$ est
connexe. Alors $A$ satisfait la conjecture de Hodge entière réelle.

En ce qui concerne la conjecture de Hodge entière réelle pour les solides
abéliens principalement polarisés, nous démontrons le théorème de réduction
suivant :

######  Théorème 9.17.

Soit ${\mathcal{A}}_{3}(\mathbb{R})^{+}$ une composante connexe de
${\mathcal{A}}_{3}(\mathbb{R})$, l’espace de modules des solides abéliens
réels principalement polarisés. Supposons que la conjecture de Hodge entière
réelle vaut pour toute jacobienne $J(C)$ tel que
$[J(C)]\in{\mathcal{A}}_{3}(\mathbb{R})^{+}$ et $C(\mathbb{R})\neq\emptyset$.
Alors la conjecture de Hodge entière réelle vaut pour toute variété abélienne
dans ${\mathcal{A}}_{3}(\mathbb{R})^{+}$.

L’espace de modules ${\mathcal{A}}_{3}(\mathbb{R})$ a quatre composantes
connexes, correspondant aux types topologiques des lieux réels des solides
abéliens réels principalement polarisés. Dans trois de ces quatre composantes,
il n’y a pas d’obstruction topologique à la conjecture de Hodge entière
réelle, comme suit de notre dernier résultat :

######  Théorème 9.18.

Soit $B$ une surface abélienne réelle, et $E$ une courbe elliptique avec
$E(\mathbb{R})$ connexe. Le solide abélien réel $A=B\times E$ satisfait la
conjecture de Hodge entière réelle.

### References

  * [AA19] Avraham Aizenbud and Nir Avni, _Pointwise surjective presentations of stacks_ , arXiv e-prints (2019), arXiv:1912.11437.
  * [AB84] Michal Atiyah and Raoul Bott, _The moment map and equivariant cohomology_ , Topology 23 (1984).
  * [AC09] Enrico Arbarello and Maurizio Cornalba, _Teichmüller space via Kuranishi families_ , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 8 (2009).
  * [ACG11] Enrico Arbarello, Maurizio Cornalba, and Phillip Griffiths, _Geometry of Algebraic Curves. Volume II_ , Springer, 2011.
  * [ACGH85] Enrico Arbarello, Maurizio Cornalba, Phillip Griffiths, and Joseph Harris, _Geometry of Algebraic Curves. Volume I_ , Springer-Verlag, 1985.
  * [Ach20] Jeffrey Achter, _Arithmetic occult period maps_ , Algebraic Geometry 7 (2020).
  * [ACT02a] Daniel Allcock, James Carlson, and Domingo Toledo, _The complex hyperbolic geometry of the moduli space of cubic surfaces_ , Journal of Algebraic Geometry 11 (2002).
  * [ACT02b] , _Orthogonal complex hyperbolic arrangements_ , Symposium in Honor of C. H. Clemens, American Mathematical Society, 2002.
  * [ACT06] , _Non-arithmetic uniformization of some real moduli spaces_ , Geometriae Dedicata 122 (2006).
  * [ACT07] , _Hyperbolic geometry and the moduli space of real binary sextics_ , Arithmetic and Geometry around Hypergeometric Functions, Birkhäuser, 2007.
  * [ACT10] , _Hyperbolic geometry and moduli of real cubic surfaces_ , Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure 43 (2010).
  * [ACT11] , _The moduli space of cubic threefolds as a ball quotient_ , Memoirs of the American Mathematical Society 209 (2011).
  * [AE21] Valery Alexeev and Philip Engel, _Compact moduli of $K3$ surfaces_, arXiv e-prints (2021), arXiv:2101.12186.
  * [AGV71] Michael Artin, Alexander Grothendieck, and Jean-Louis Verdier, _Théorie de Topos et Cohomologie Etale des Schémas I, II, III_ , Springer, 1971.
  * [AH62] Michael Atiyah and Friedrich Hirzebruch, _Analytic cycles on complex manifolds_ , Topology 1 (1962).
  * [AK11] Michela Artebani and Shigeyuki Kondō, _The moduli of curves of genus six and $K3$ surfaces_, Transactions of the American Mathematical Society 363 (2011).
  * [ALR07] Alejandro Adem, Johann Leida, and Yongbin Ruan, _Orbifolds and Stringy Topology_ , Cambridge University Press, 2007.
  * [Aud04] Michèle Audin, _Torus Actions on Symplectic Manifolds_ , Birkhäuser Verlag, 2004.
  * [AV04] Alessandro Arsie and Angelo Vistoli, _Stacks of cyclic covers of projective spaces_ , Compositio Mathematica 140 (2004).
  * [BCR98] Jacek Bochnak, Michel Coste, and Marie-Françoise Roy, _Real Algebraic Geometry_ , Springer-Verlag, 1998.
  * [Bea82] Arnaud Beauville, _Quelques remarques sur la transformation de Fourier dans l’anneau de Chow d’une variété abélienne_ , Algebraic Geometry, Springer, 1982.
  * [Bea86a] , _Le groupe de monodromie des familles universelles d’hypersurfaces et d’intersections complètes_ , Complex Analysis and Algebraic Geometry, Springer, 1986.
  * [Bea86b] , _Sur l’anneau de Chow d’une variété abélienne_ , Mathematische Annalen 273 (1986).
  * [Bea09] , _Moduli of cubic surfaces and Hodge theory_ , Géométries à courbure négative ou nulle, groupes discrets et rigidités, Société Mathématique de France, 2009.
  * [Bea10] , _Finite subgroups of ${{\mathrm{P}}GL}_{2}(K)$_, Vector Bundles and Complex Geometry, American Mathematical Society, 2010.
  * [Ben18] Olivier Benoist, _Sums of three squares and Noether-Lefschetz loci_ , Compositio Mathematica 154 (2018).
  * [Ben20] , _On the subvarieties with nonsingular real loci of a real algebraic variety_ , arXiv e-prints (2020), arXiv:2005.06424.
  * [BGF22] Thorsten Beckmann and Olivier de Gaay Fortman, _Integral Fourier transforms and the integral Hodge conjecture for one-cycles on abelian varieties_ , arXiv e-prints (2022), arXiv:2202.05230.
  * [BH61] Armand Borel and André Haefliger, _La classe d’homologie fondamentale d’un espace analytique_ , Bulletin de la Société Mathématique de France 89 (1961).
  * [BK98] Jacek Bochnak and Wojciech Kucharz, _On homology classes represented by real algebraic varieties_ , Singularities Symposium—Łojasiewicz 70, Institute of Mathematics of the Polish Academy of Sciences, 1998.
  * [BL04] Christina Birkenhake and Herbert Lange, _Complex Abelian Varieties_ , Springer-Verlag, 2004.
  * [Blo79] Spencer Bloch, _Torsion algebraic cycles and a theorem of Roitman_ , Compositio Mathematica 39 (1979).
  * [BLR90] Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, and Michel Raynaud, _Néron Models_ , Springer-Verlag, 1990.
  * [Bn02] Sebastian del Baño, _On the Hodge theory of the symmetric powers of a curve_ , Publicacions Matemàtiques 46 (2002).
  * [BO20] Olivier Benoist and John Christian Ottem, _Failure of the integral Hodge conjecture for threefolds of Kodaira dimension zero_ , Commentarii Mathematici Helvetici 95 (2020).
  * [Bou71] Nicolas Bourbaki, _Éléments de Mathématique. Topologie Générale. Chapitres 1 à 4_ , Hermann, 1971.
  * [BW20a] Olivier Benoist and Olivier Wittenberg, _On the integral Hodge conjecture for real varieties, I_ , Inventiones mathematicae 222 (2020).
  * [BW20b] , _On the integral Hodge conjecture for real varieties, II_ , Journal de l’École polytechnique 7 (2020).
  * [CDK95] Eduardo Cattani, Pierre Deligne, and Aroldo Kaplan, _On the Locus of Hodge Classes_ , Journal of the American Mathematical Society 8 (1995).
  * [CF03] Fabrizio Catanese and Paola Frediani, _Real hyperelliptic surfaces and the orbifold fundamental group_ , Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu 2 (2003).
  * [Cha95] Ching-Li Chai, _Every ordinary symplectic isogeny class in positive characteristic is dense in the moduli_ , Inventiones mathematicae 121 (1995).
  * [Cha98] , _Density of members with extra hodge cycles in a family of hodge structures_ , Asian Journal of Mathematics 2 (1998).
  * [CHM88] Ciro Ciliberto, Joe Harris, and Rick Miranda, _General Components of the Noether-Lefschetz Locus and their Density in the Space of all Surfaces_ , Mathematische Annalen 282 (1988).
  * [Chu06] Kenneth Chu, _The Moduli Space of Real Binary Octics_ , Ph.D. thesis, University of Utah, 2006.
  * [Chu11] Kenneth Chu, _On the Geometry of the Moduli Space of Real Binary Octics_ , Canadian Journal of Mathematics 63 (2011).
  * [CMSP17] James Carlson, Stefan Müller-Stach, and Chris Peters, _Period Mappings and Period Domains_ , Cambridge University Press, 2017.
  * [CO19] Ching-Li Chai and Frans Oort, _The Hecke orbit conjecture: a survey and outlook_ , Open Problems in Arithmetic Algebraic Geometry, International Press of Boston, 2019.
  * [CP90] Elisabetta Colombo and Gian Pietro Pirola, _Some density results for curves with non-simple jacobians_ , Mathematische Annalen 288 (1990).
  * [CP15] François Charles and Alena Pirutka, _La conjecture de Tate entière pour les cubiques de dimension quatre_ , Compositio Mathematica 151 (2015).
  * [CT93] Jean-Louis Colliot-Thélène, _Cycles algébriques de torsion et $K$-théorie algébrique_, Arithmetic Algebraic Geometry, Springer, 1993.
  * [CT99] James Carlson and Domingo Toledo, _Discriminant complements and kernels of monodromy representations_ , Duke Mathematical Journal 97 (1999).
  * [CTSS83] Jean-Louis Colliot-Thélène, Jean-Jacques Sansuc, and Christophe Soulé, _Torsion dans le groupe de Chow de codimension deux_ , Duke Mathematical Journal 50 (1983).
  * [CTV12] Jean-Louis Colliot-Thélène and Claire Voisin, _Cohomologie non ramifiée et conjecture de Hodge entière_ , Duke Mathematical Journal 161 (2012).
  * [Deb87] Olivier Debarre, _Annulation de thêtaconstantes sur les variétés abéliennes de dimension quatre_ , Comptes Rendus de l’Académie des Sciences 305 (1987).
  * [Deb96] , _Polarisations sur les variétés abéliennes produits_ , Comptes Rendus de l’Académie des Sciences 323 (1996).
  * [Deb01] , _Higher-Dimensional Algebraic Geometry_ , Springer-Verlag, 2001\.
  * [DG67] Jean Dieudonné and Alexander Grothendieck, _Éléments de Géométrie Algébrique_ , Publications Mathématiques de l’IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1961–1967).
  * [DIK00] Alexander Degtyarev, Ilia Itenberg, and Viatcheslav Kharlamov, _Real Enriques Surfaces_ , Springer-Verlag, 2000.
  * [DL90] Olivier Debarre and Yves Laszlo, _Le lieu de Noether-Lefschetz pour les variétés abéliennes_ , Comptes Rendus de l’Académie des Sciences 311 (1990).
  * [DM69] Pierre Deligne and David Mumford, _The irreducibility of the space of curves of given genus_ , Publications Mathématiques de l’IHÉS 36 (1969).
  * [DM86] Pierre Deligne and George Mostow, _Monodromy of hypergeometric functions and nonlattice integral monodromy_ , Publications Mathématiques de l’IHÉS 63 (1986).
  * [DM91] Christopher Deninger and Jacob Murre, _Motivic decomposition of abelian schemes and the Fourier transform_ , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 422 (1991).
  * [Esn04] Hélène Esnault, _Some elementary theorems about divisibility of $0$-cycles on abelian varieties defined over finite fields_, International Mathematics Research Notices 2004 (2004).
  * [Fal83] Gerd Faltings, _Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern_ , Inventiones mathematicae 73 (1983).
  * [Fox57] Ralph Fox, _Covering Spaces with Singularities_ , Algebraic Geometry and Topology, Princeton University Press, 1957.
  * [Ful98] William Fulton, _Intersection Theory_ , Springer-Verlag, Berlin, 1998.
  * [FWG+86] Gerd Faltings, Gisbert Wüstholz, Fritz Grunewald, Norbert Schappacher, and Ulrich Stuhler, _Rational Points_ , Friedr. Vieweg & Sohn, 1986.
  * [Gab01] Ofer Gabber, _On space filling curves and Albanese varieties_ , Geometric and Functional Analysis 11 (2001).
  * [GF21] Olivier de Gaay Fortman, _Hyperbolic geometry and real moduli of five points on the line_ , arXiv e-prints (2021), arXiv:2111.06381.
  * [GF22a] , _On the integral hodge conjecture for real abelian threefolds_ , 2022, to appear.
  * [GF22b] , _Real moduli spaces and density of non-simple real abelian varieties_ , The Quarterly Journal of Mathematics 73 (2022).
  * [GH81] Benedict Gross and Joe Harris, _Real algebraic curves_ , Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure 14 (1981).
  * [GPS87] Mikhael Gromov and Ilya Piatetski-Shapiro, _Non-arithmetic groups in Lobachevsky spaces_ , Publications Mathématiques de l’IHÉS 66 (1987).
  * [Gra04] Craig Grabowski, _On the integral Hodge conjecture for 3-folds_ , Ph.D. thesis, Duke University, 2004.
  * [Gro57] Alexander Grothendieck, _Sur quelques points d’algèbre homologique_ , Tohoku Mathematical Journal 9 (1957).
  * [Gro62] , _Fondements de la Géométrie Algébrique_ , Secrétariat mathématique, 1962.
  * [Gro71] , _Revêtements Étales et Groupe Fondamental (SGA 1)_ , Springer-Verlag, 1971.
  * [Gro80] Benedict Gross, _Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication_ , Springer, 1980.
  * [Gro99] Misha Gromov, _Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces_ , Birkhäuser Boston, 1999.
  * [Ham97] Joost van Hamel, _Algebraic cycles and topology of real algebraic varieties._ , Ph.D. thesis, Vrije Universiteit Amsterdam, 1997.
  * [Ham00] , _Torsion zero-cycles and the Abel-Jacobi map over the real numbers_ , The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles, American Mathematical Society, 2000.
  * [Har77] Robin Hartshorne, _Algebraic Geometry_ , Springer-Verlag, 1977.
  * [Hir64] Heisuke Hironaka, _Resolution of Singularities of an Algebraic Variety over a Field of Characteristic Zero: I_ , Annals of Mathematics 79 (1964).
  * [HM98] Joe Harris and Ian Morrison, _Moduli of Curves_ , Springer-Verlag, 1998.
  * [Hod61] William Hodge, _Differential forms in algebraic geometry_ , Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni 20 (1961).
  * [How01] Everett Howe, _Isogeny classes of abelian varieties with no principal polarizations_ , Moduli of Abelian Varieties, Birkhäuser, 2001.
  * [HR18] Gert Heckman and Sander Rieken, _Hyperbolic geometry and moduli of real curves of genus three_ , Mathematische Annalen 370 (2018).
  * [Hui99] Johannes Huisman, _Real quotient singularities and nonsingular real algebraic curves in the boundary of the moduli space_ , Compositio Mathematica 118 (1999).
  * [Huy06] Daniel Huybrechts, _Fourier–Mukai Transforms in Algebraic Geometry_ , Oxford University Press, 2006.
  * [Huy16] , _Lectures on $K3$ Surfaces_, Cambridge University Press, 2016\.
  * [Jon93] Aise Johan de Jong, _The moduli spaces of polarized abelian varieties_ , Mathematische Annalen 295 (1993).
  * [Kah87] Bruno Kahn, _Construction de classes de Chern équivariantes pour un fibré vectoriel réel_ , Communications in Algebra 15 (1987).
  * [Kha76] Viatcheslav Kharlamov, _The topological type of nonsingular surfaces in ${\mathbb{R}}P^{3}$ of degree $4$_, Funktsional’nyi Analiz i ego Prilozheniya 10 (1976).
  * [Kim91] Sung-Ock Kim, _Noether-Lefschetz Locus for Surfaces_ , Transactions of the American Mathematical Society 324 (1991).
  * [KM97] Sean Keel and Shigefumi Mori, _Quotients by Groupoids_ , Annals of Mathematics 145 (1997).
  * [Knu83] Finn Knudsen, _The projectivity of the moduli space of stable curves. II. The stacks $M_{g,n}$_, Mathematica Scandinavica 52 (1983).
  * [Kon00] Shigeyuki Kondō, _A complex hyperbolic structure for the moduli space of curves of genus three_ , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 525 (2000).
  * [Kon02] , _The moduli space of curves of genus 4 and Deligne-Mostow’s complex reflection groups_ , Algebraic Geometry $2000$, Azumino, Mathematical Society of Japan, 2002.
  * [Kon07] , _The moduli space of 5 points on $\mathbb{P}^{1}$ and $K3$ surfaces_, Arithmetic and Geometry around Hypergeometric Functions, Birkhäuser, 2007.
  * [KR12] Stephen Kudla and Michael Rapoport, _On occult period maps_ , Pacific Journal of Mathematics 260 (2012).
  * [KR14] , _Special cycles on unitary Shimura varieties II: Global theory_ , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 697 (2014).
  * [Kra83] Vyacheslav Krasnov, _Harnack-Thom inequalities for mappings of real algebraic varieties_ , Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk, Seriya Matematicheskaya 47 (1983).
  * [Kra91] , _Characteristic classes of vector bundles on a real algebraic variety_ , Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk, Seriya Matematicheskaya 55 (1991).
  * [Kra94] , _On the equivariant Grothendieck cohomology of a real algebraic variety and its application_ , Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk, Seriya Matematicheskaya 58 (1994).
  * [Lan75] Herbert Lange, _Modulprobleme exzeptioneller abelscher Varietäten_ , Nachrichten der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen 1975 (1975).
  * [Lee13] John Lee, _Introduction to Smooth Manifolds_ , Springer, 2013.
  * [Lef50] Solomon Lefschetz, _L’analysis situs et la géométrie algébrique_ , Gauthier-Villars, 1950.
  * [Lia76] Joseph Liang, _On the integral basis of the maximal real subfield of a cyclotomic field_ , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 0286 (1976).
  * [LMB00] Gérard Laumon and Laurent Moret-Bailly, _Champs algébriques_ , Springer-Verlag, 2000.
  * [LS07] Eduard Looijenga and Rogier Swierstra, _The period map for cubic threefolds_ , Compositio Mathematica 143 (2007).
  * [Man17] Frédéric Mangolte, _Variétés Algébriques Réelles_ , Société Mathématique de France, 2017.
  * [Man20] , _Real Algebraic Varieties_ , Springer, 2020.
  * [MFK94] David Mumford, John Fogarty, and Frances Kirwan, _Geometric Invariant Theory_ , Springer-Verlag, 1994.
  * [Mil86] James Milne, _Jacobian Varieties_ , Arithmetic Geometry, Springer, 1986\.
  * [Mil08] , _Algebraic Number Theory (v3.01)_ , 2008, https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANTc.pdf.
  * [Mil20] , _Complex Multiplication (v0.10)_ , 2020, https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CM.pdf.
  * [MM03] Ieke Moerdijk and Janez Mrčun, _Introduction to Foliations and Lie Groupoids_ , Cambridge University Press, 2003.
  * [MO13] Ben Moonen and Frans Oort, _The Torelli locus and special subvarieties_ , Handbook of Moduli. Volume II, International Press of Boston, 2013.
  * [Moe03] Ieke Moerdijk, _Orbifolds as Groupoids: an Introduction_ , Orbifolds in Mathematics and Physics, American Mathematical Society, 2003.
  * [Mos86] George Mostow, _Generalized Picard lattices arising from half-integral conditions_ , Publications Mathématiques de l’IHÉS 63 (1986).
  * [MP10] Ben Moonen and Alexander Polishchuk, _Divided powers in Chow rings and integral Fourier transforms_ , Advances in Mathematics 224 (2010).
  * [MS72] David Mumford and Kalevi Suominen, _Introduction to the Theory of Moduli_ , Algebraic Geometry, Wolters-Noordhoff, 1972.
  * [Muk81] Shigeru Mukai, _Duality between $D(X)$ and $D(\hat{X})$ with its application to Picard sheaves_, Nagoya Mathematical Journal 81 (1981).
  * [Mum71] David Mumford, _The Structure of the Moduli spaces of Curves and Abelian Varieties_ , Actes du Congrès International des Mathématiciens, Gauthier-Villars, 1971.
  * [Mum74] , _Abelian Varieties_ , Oxford University Press, 1974.
  * [Mur85] Jacob Murre, _Applications of algebraic $K$-theory to the theory of algebraic cycles_, Algebraic Geometry, Springer, 1985.
  * [MvH98] Frédéric Mangolte and Joost van Hamel, _Algebraic cycles and topology of real Enriques surfaces_ , Compositio Mathematica 110 (1998).
  * [Neu99] Jürgen Neukirch, _Algebraic Number Theory_ , Springer, 1999.
  * [Nik80] Viacheslav Nikulin, _Integral Symmetric Bilinear Forms and Some of their Applications_ , Mathematics of the USSR-Izvestiya 14 (1980).
  * [Orl97] Dmitri Orlov, _Equivalences of derived categories and $K3$ surfaces_, Journal of Mathematical Sciences 84 (1997).
  * [Pal85] _Géométrie des Surfaces $K3$: Modules et Périodes_, Société Mathématique de France, 1985.
  * [Per22] Alexander Perry, _The integral Hodge conjecture for two-dimensional Calabi-Yau categories_ , Compositio Mathematica 158 (2022).
  * [Pic83] Emile Picard, _Sur des fonctions de deux variables indépendantes analogues aux fonctions modulaires_ , Acta Mathematica 2 (1883).
  * [PR94] Vladimir Platonov and Andrei Rapinchuk, _Algebraic Groups and Number Theory_ , Academic Press, 1994.
  * [Rie15] Sander Rieken, _Moduli of real curves of genus three_ , Ph.D. thesis, Radboud Universiteit Nijmegen, 2015.
  * [Sak16] Yiannis Sakellaridis, _The Schwartz space of a smooth semi-algebraic stack_ , Selecta Mathematica 22 (2016).
  * [Sch19] Stefan Schreieder, _Stably irrational hypersurfaces of small slopes_ , Journal of the American Mathematical Society 32 (2019).
  * [Sch20] , _Refined unramified homology of schemes_ , arXiv e-prints (2020), arXiv:2010.05814.
  * [Ser79] Jean-Pierre Serre, _Local Fields_ , Springer-Verlag, 1979.
  * [Shi63] Goro Shimura, _On analytic families of polarized abelian varieties and automorphic functions_ , Annals of Mathematics 78 (1963).
  * [Shi64] , _On purely transcendental fields automorphic functions of several variable_ , Osaka Journal of Mathematics 1 (1964).
  * [Shi75] , _On the real points of an arithmetic quotient of a bounded symmetric domain_ , Mathematische Annalen 215 (1975).
  * [Sil89] Robert Silhol, _Real Algebraic Surfaces_ , Springer, 1989.
  * [SS89] Mika Seppälä and Robert Silhol, _Moduli Spaces for Real Algebraic Curves and Real Abelian Varieties_ , Mathematische Zeitschrift 201 (1989).
  * [Sta18] The Stacks Project Authors, _Stacks Project_ , https://stacks.math.columbia.edu, 2018.
  * [Ste08] Peter Stevenhagen, _The arithmetic of number rings_ , Algorithmic number theory: lattices, number fields, curves and cryptography, Cambridge University Press, 2008.
  * [Tak77] Kisao Takeuchi, _Arithmetic triangle groups_ , Journal of the Mathematical Society of Japan 29 (1977).
  * [Tat66] John Tate, _Endomorphisms of abelian varieties over finite fields_ , Inventiones mathematicae 2 (1966).
  * [Thu80] William Thurston, _The Geometry and Topology of Three-Manifolds_ , Princeton University Press, 1980.
  * [Thu98] , _Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere_ , Geometry and Topology Monographs, Geometry and Topology Publications, 1998.
  * [Tot97] Burt Totaro, _Torsion algebraic cycles and complex cobordism_ , Journal of the American Mathematical Society 10 (1997).
  * [Tot21] , _The integral Hodge conjecture for 3-folds of Kodaira dimension zero_ , Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu 20 (2021).
  * [tre92] _Trento examples_ , Classification of Irregular Varieties, Springer, 1992\.
  * [Voi02] Claire Voisin, _Théorie de Hodge et Géométrie Algébrique Complexe_ , Société Mathématique de France, 2002.
  * [Voi06] , _On integral Hodge classes on uniruled or Calabi-Yau threefolds_ , Moduli Spaces and Arithmetic Geometry, Mathematical Society of Japan, 2006.
  * [Voi07] , _Some aspects of the Hodge conjecture_ , Japanese Journal of Mathematics 2 (2007).
  * [Voi16] , _Stable birational invariants and the Lüroth problem_ , Surveys in Differential Geometry 2016, International Press of Boston, 2016\.
  * [Wam99] Paul van Wamelen, _Examples of genus two CM curves defined over the rationals_ , Mathematics of Computation 68 (1999).
  * [Wit08] Olivier Wittenberg, _On Albanese torsors and the elementary obstruction_ , Mathematische Annalen 340 (2008).
  * [WX17] Yue Wu and Bin Xu, _Moduli spaces of unordered $n\geq 5$ points on the Riemann sphere and their singularities_, arXiv e-prints (2017), arXiv:1704.07583.
  * [Zar74a] Yuri Zarhin, _Isogenies of abelian varieties over fields of finite characteristic_ , Matematicheskiĭ Sbornik 24 (1974).
  * [Zar74b] , _A remark on endomorphisms of abelian varieties over function fields of finite characteristic_ , Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk, Seriya Matematicheskaya 38 (1974).

See pages 4 of couverture-anglais.pdf